※ 引述《murray5566 (睡覺睡到自然醒)》之銘言：
: 題目1:
: dx/(1+sin^2(x)) 從0積到pi
: 我把sin^2(X)換成cos2x
: 範圍剛好是0到2pi型成封閉曲線 且
: 我利用z=e^(ix)
: 整個式子變成
: integral 2dx/(3-cos2x) 封閉路線為半徑為1的圓 圓心為原點
: 我利用z=e^(ix)
: 換一換之後 分母有Z的4次方
: 不知道怎麼求根
: 懇請解惑
: Q2 integral F(k)exp(ikx)dk 從負無限 積到 無限=1/(1+x^3)
: find F(k)
∞ ikx 1
∫ F(k) e dk = ────
-∞ 1 + x^3
Ｆｏｕｒｅｉｒ Ｉｎｔｅｇｒａｌ
1 ∞ ∞ -ikx ikx
f(x) = ── ∫ ∫ f(x) e dx e dk
2π -∞ -∞
∞ 2π -ikx
F(k) = ∫ ────── e dx
-∞ 1 + x^3
考慮一下複數平面上半圓(半徑趨近於無窮大)的路徑
2π -ikz
∫ ───── e dz = ∫ G(z) dz
c 1 + z^3 c
上半圓的路徑積分等於零 (這我就不證囉! 但是考試要寫出來~)
2 2
F(k) = 4π i Res{ G(z) } + 2π Res{ G(z) }
upper half circle on the real axis
3 1 √3
1 + z = 0 , z = -1 , z = ── + ── i , 為一階極點!
2 2
-ikz
2π e │ 2π ik
Res{ G(z) } = ──────│ = ── e
z = -1 3z^2 │z = -1 3
-ik(1/2 + √3i/2)
2π e
Res{ G(z) } = ─────────────────
z = 1/2+√3i/2 3 * ([ 1/4 - 3/4 ] + i[√3/2 ] )
2π -1 √3i √3k/2 - ik/2
= ── { ── - ── } e
3 2 2
-2π πi/3 + √3k/2 - ik/2
=> ── e
3
-2π √3k/2 + i(π/3 - k/2)
= ── e
3
-8 3 √3/2 π k π k
F(k) = ──π e ( cos(── - ──) + i sin(── - ──) )
3 3 2 3 2
4 3
+ ── π (cos(k) + isin(k))
3
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不知道有沒有錯QQ...
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