※ 引述《a303121 (夏夜星)》之銘言：
: ※ 引述《wadeginobili (偽的基諾比利)》之銘言：
: : 我是直接做個因變數變換
: : 令z=y/x ---> y=xz
: : ---> dy/dx=z+x(dz/dx) 代入ODE
: : ---> dy/dx=y/x+x{1+(y/x)^2}^1/2
: : ---> z+x(dz/dx)=z+x{1-z^2}^1/2 z跟x互消變成分離變數的ODE
: : ---> {1/(1+z^2)^1/2}dz=dx
: : ---> arcsinh(z)=x+c
: : ---> z=sinh(x+c) 之後再把z還原
: : ---> y=x*sinh(x+c)
: dy/dx=y/{x+(x^2+y^2)^1/2}
: 抱歉阿各位我題目沒講清楚，下面應該是要整個括號所以不是 y/x+(x^2+y^2)^1/2
: 應該是y/{x+(x^2+y^2)^1/2}
假設 u=y/x , y=xu y'=u+xu'
代入--> u+xu' = xu/[x+(x^2+(xu)^2)^1/2]
= xu/[x+x(1+u^2)^1/2]
= u/(1+根號(1+u^2))
移項 xu'= [u-u-根號(1+u^2)]/[1+根號(1+u^2)]
化簡,分離變數 {1/[根號(1+u^2)]}+1 du= -1/x dx
積分 得 arcsinh(u) + u = -ln(cx)
整理 u = sinh(-(u+lncx)) ; u = y/x帶回
y = -xsinh((y/x)+lncx) 得解
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