推 a303121:了解!!感謝解答 08/15 14:01
※ 引述《a303121 (夏夜星)》之銘言：
: ※ 引述《ntust661 (常春藤 i pod)》之銘言：
: : 我很難猜出你怎麼算的QQ...
: : 先告訴你微分方程怎麼算
: : ∫ x dx 會積分吧?
: : 但
: : ∫ x dy 會積分嗎? 如果 y 是 x 的函數 ( y = y(x) )( y 會隨著 x 而變 )
: : 你只要記住這個準則 " 變數相同才能積分，積分式不能夾雜其他變數 "
: : y' = y (1-y)
: : dy
: : ── = y (1 - y)
: : dx
: : dy
: : ────── = dx
: : y (1 - y)
: : 積分
: : => lny - ln(1-y) = x + C
: : y
: : => ln { ──── } = x + C
: : 1 - y
: : y x
: : => ───── = C' e
: : 1 - y
: : 加油吧 還有很長的路要走!
: => lny - ln(1-y) = x + C這邊部份分式不是=> lny + ln(1-y) = x + C 嗎?
1 1 1
─── = ── + ─── 沒錯
y(1-y) y 1-y
但那個負號是積分跑出來的
你可以試試微分 -ln(1-y) 會不會回到 1/(1-y)
1 1 -1
你也可以寫成─── = ── + ───
y(1-y) y y-1
積分後 lny - ln(y-1) = ln e^x + ln c
y
=> ln ─── = ln (c e^x)
y-1
=> y/(y-1) = c e^x
跟上面長的不太一樣 其實只是積分常數差個負號
你還可以用Bernoulli differential equation的解法
y'=-y^2+y ...(1)
令z=y^(1-2)=y^(-1)
z'= -y^(-2) y'
(1)式同除-y^2
=> -y^(-2) y' = 1 - y^(-1)
=> z' = 1-z
=> z = C1 e^(-x) + 1
=> y =1/z = 1/(C1 e^(-x) + 1)
跟上面 y/(1-y) = C' e^x ...(2) 比較
(2)左右同+1
=> 1/(1-y) = C' e^x + 1
=> 1 = (C' e^x + 1) - y (C' e^x + 1)
=> y = C' e^x / (C' e^x + 1 )
同除 C' e^x
=> y = 1 / (e^(-x)/C' + 1 )
C1和C'只是差個倒數而已
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.121.146.175