Re: [理工] 幾題微積分問題

[Eliphalet (真係廢到冇朋友)]

※ 引述《ILzi ( 並不好笑 )》之銘言：
: ※ 引述《bigliang (阿良)》之銘言：
: : 跪求高手幫忙解
: : 想從例題直接找觀念
: : 感恩
: : 詳解越多越好m(_ _)m
: : http://ppt.cc/hugH
: 算幾不等式的證明，這題對讀者還不錯，有提示做法
: (1) n=2
: (首先我觀察把左右平方之後的變化，4x1x2≦(x1+x2)^2 )
: (所以移項之後可以得到我想要的)
: (x1-x2)^2 ≧ 0
: x1^2 -2x1x2 + x2^2 ≧ 0
: x1^2 +2x1x2 + x2^2 ≧ 4x1x2
: (x1+x2)^2 ≧4x1x2
: (x1+x2)^2/4 ≧ x1x2
: 因為x1,x2非負
: 所以(x1+x2)/2 ≧√(x1x2)
: 且顯然當x1=x2時，等式會成立
: (2)
: (x1+x2+x3+x4)/4 = (x1+x2)/4 + (x3+x4)/4 ≧ (√(x1x2) + √(x3x4))/2
:                ≧ √(√x1x2√x3x4) = (x1x2x3x4)^(1/4)
: x1=x2=x3=x4時等號會成立應該不難得證
: (3) 同(2)
: (4)
: 令 X = (x1+x2+x3)/3 => 3X = x1+x2+x3
: => 3X+X = x1+x2+x3+X
: => X = (x1+x2+x3+X)/4 ≧ (x1x2x3X)^(1/4)
: 因為x1,x2,x3,X都是非負，所以
: => X^4 ≧ x1x2x3X
: (i) 若X=0，則代表x1=x2=x3=0
: 很容易驗證該不等式成立
: (ii)若X≠0，則
: X^3 ≧x1x2x3
: => X≧(x1x2x3)^(1/3)
: =>(x1+x2+x3)/3 ≧(x1x2x3)^(1/3)
: 剩下三題，有點累了，待補
: : http://ppt.cc/Qf4_
: : http://ppt.cc/ACLB
: : http://ppt.cc/5HY_


在微積分的範圍 應該可以用簡單些的方法...

  log 是 strictlly concave

             n                n
 => log (1/n Σ x_i )  >= 1/n Σ log(x_i)
             i=1              i=1
                                n
                        = log (Πx_i)^(1/n)
                               i=1

          n          n
  =>  1/n Σ x_i >= (Πx_i)^(1/n)
          i=1        i=1


       且等號成立 iff x_1 = x_2 = ... = x_n

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◆ From: 122.117.54.95
推 ILzi:我覺得第一個>=那邊是不是應該要多說明一下?
→ Eliphalet:strictlly concave 的關係啊
推 ILzi:我覺得有必要多解釋一下concave的性質..
推 ILzi:我去查了一下，凸函數和凹函數的性質好像初微的書比較少提到
→ ILzi:所以雖然可以很簡單的說"log 是 strictlly concave"
→ ILzi:但是對於沒聽過的人似乎會一頭霧水