※ 引述《cutemiller (cutemiller)》之銘言：
: How many positive integers less than 1,000,000 have exactly one digit equal
: to 9 and have a sum of digits equal to 13?
: 答案:有一數字為9,假設另五個數為 x1~x5,則x1+x2+x3+x4+x5+9=13 xi=0 to 9,i=1~5
: 整數解個數為c(8 4),又9可置於x1~x5的6個空隙所以6*c(8 4)
: 疑問:為什麼,x1~x5 是 0 t0 9 ? 不是只有1個9嗎?為什麼不是0 t0 8 呢?
: 謝謝!
解1:
x1+x2+x3+x4+x5+9=13 xi=0~9,i=1~5
=> x1+x2+x3+x4+x5=4 xi=0~9,i=1~5
┌ 2 3 4 5 6 7 8 9 ┐ 4
=> A(x)=│1 +x +x +x +x +x +x +x +x +x │ 求x的係數
└ ┘
10 5
┌ 1-x ┐ 10 5 -5 5 ┌ 5 ┐ 10 i ∞ ┌ 5+r-1 ┐ r
=│------│ = (1-x ) *(1-x) = Σ │ │(-x ) * Σ │ │x
└ 1-x ┘ i=0 └ i ┘ r=0 └ r ┘
4 ┌ 5 ┐ ┌ 5+4-1 ┐ ┌ 8 ┐
=>取i=0,r=4，x 的係數為│ │* │ │=│ │
└ 0 ┘ └ 4 ┘ └ 4 ┘
解2:
x1+x2+x3+x4+x5+9=13 xi=0~8,i=1~5
=> x1+x2+x3+x4+x5=4 xi=0~8,i=1~5
┌ 2 3 4 5 6 7 8 ┐ 4
=> A(x)=│1 +x +x +x +x +x +x +x +x │ 求x的係數
9 5
┌ 1-x ┐ 9 5 -5 5 ┌ 5 ┐ 9 i ∞ ┌ 5+r-1 ┐ r
=│------│ = (1-x ) *(1-x) = Σ │ │(-x ) * Σ │ │x
└ 1-x ┘ i=0 └ i ┘ r=0 └ r ┘
4 ┌ 5 ┐ ┌ 5+4-1 ┐ ┌ 8 ┐
=>取i=0,r=4，x 的係數為│ │* │ │=│ │
└ 0 ┘ └ 4 ┘ └ 4 ┘
回答你的問題：
由上面可知：
你取x1~x5=0~9和x1~x5=0~8答案結果都不會改變（因為i只能取0）
題目說有一個9且sum=13，
所以你可以看出x1~x5皆不可能是8或9（也就可以看出只有一個9）
因此並不會影響你最後的結果。
※ 編輯: numin 來自: 123.193.221.223 (09/10 21:06)