[理工] 線代

[KAINTS (RUKAWA)]

(1)假設T屬於L(V,V),其中V為複內積空間
   若<T(u),v>=0,對所有u,v屬於V,則T=O


證:
因為<T(u),v>=0,對所有u,v屬於V
=><T(u),v>=0,對所有u屬於V

第一行到第二行用什麼觀念轉的.....?
(2)A保長度，即||Ax||=||x||，對所有x屬於R^n*1
   則A為正交矩陣

證:
對所有x屬於R^n*1,
  T T       T         2      2  T   T
 x A Ax=(Ax) Ax=||Ax|| =||x|| =x x=x Ix

   T
=>A A=I
所以A為正交矩陣
此題可以這樣證嗎?

(3)
hermatian matrix 跟 unitary matrix有一樣嗎?
我記得hermitian的定義是A^H=A
而unitary則是A^-1=A^H

但我剛在寫小黃的書卻說A is hermitian matrices,
所以AA^H=I,得A^-1=A^H

是我搞錯了，還是老師寫錯了

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.70.42.106
→ KAINTS:是因為T(u)屬於V,所以第一行的v,可以換T(u)嗎??
※ 編輯: KAINTS          來自: 111.70.42.106        (10/13 19:52)
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (10/13 20:51)
→ cha122977:(1)對所有u,v屬於V,則T=O -> u代什麼都一樣
→ cha122977:   都會使T=0: < T(u), v > = < 0,v > = 0
→ cha122977:(3)我記得hermitian matrix的定義是A^(-1)=A^T喔...
→ cha122977:   更正上一行 hermitian matrix是 A^H=A^T
→ cha122977:   你要不要把題目完整打出來？
→ KAINTS:我剛查維基，aij=aji*,所以A=A^H沒錯吧!
→ cha122977:(2)應該是不行，若ABA^T=ACA^T 除非A可逆否則B未必等於C
可第二題小黃書中是寫
對所有x,y屬於R^n*1
 T T      T
y A Ax=(Ay)Ax=<Ax,Ay>=1/4||Ax+Ay||-1/4||Ax-Ay||
        T   T
=<x,y>=y x=y Ix
   T
得A A=I,所以A is an orthogonal matrix
他也不知道A是否可逆ㄟ...
→ KAINTS:好的，稍等
Let A and B be Hermitian natrices.Please show that the

inverse of the matrix C=AB is also Hermitian.
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (10/13 21:23)
→ cha122977:那我反問你，任意實數square matrix是hermitian嗎？
→ KAINTS:是阿，他是實數去共軛加轉置，所以我們簡化為A=A^T,稱作
→ cha122977:喔不 我忘記A^H本身有做一次transport...你是對的...
→ KAINTS:symmetric
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (10/13 21:33)
→ cha122977:3還有其它條件嗎？
→ KAINTS:沒有ㄟ，題目就這樣
→ cha122977:3我投降...
→ KAINTS:3感覺證不出來...
→ cha122977:你可以找找看反例，有的話就是真的出錯了
→ KAINTS:我再想看看好了