[理工] [工數]一階ODE

[momo504131 (小花)]

大家晚安，今天在幫同學算工數時卡到這題，請大家給點提示

題目:
y'+2y=f(x),y(0)=0,where f(x)=1   ,x在0~3(含0、3)
                             0   ,x大於3(不含3)
解答1:
我算出積分因子I(x)=e^(2x)後乘回去並作分部積分


ye^(2x)=(1/2)e^(2x)+C1   ,x在0~3(含0、3)
                    C2   ,x大於3(不含3)

接著帶入條件y(0)=0

y=(1/2)(1-e^-2x)   ,x在0~3(含0、3)

困惑:C2不知道怎麼求，C2是在x大於3求出來的，現在卻要把x=0帶入，我困惑了...
    且強制帶入後C2=0，跟解答的1/2[(e^6)-1]e^(-2x)不同...

先在這裡謝謝各位了= =

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◆ From: 1.170.191.68
→ BaaaSwin:這題直接用拉氏比較快哦!!用階梯函數把f(x)描述出來
→ BaaaSwin:f(x)=u(t)-u(t-3)
→ BaaaSwin:另y(0)=C  兩邊取拉氏
→ BaaaSwin:(S+2)Y={(e^-0s - e^-3s) / S} + C
→ momo504131:謝謝，但我還在學一階ODE，有一階的解法嗎= =
→ BaaaSwin:Y=(1/3){(1/S-1)-(S+2)}(e^-0s-e^-3s)-C/S+2
→ momo504131:而且我很好奇題目問的背後意義=A=
→ BaaaSwin:你在積分的時候不用再分x在哪個範圍
→ BaaaSwin:把不定積分改成積分x-0
→ momo504131:麻煩能在詳細敘述一下嗎...
推 BaaaSwin:dye^2x=/e^(2x)[u(t)-u(t-3)]dx  本來是不定積分
→ BaaaSwin:改成定積分  積分範圍0-x
→ BaaaSwin:然後你再把他兩個拆開個別積分個別的就好了
→ momo504131:(e^2x)y'+2y(e^2x)=這邊後面怎麼寫，是1X(e^2x)嗎?
→ BaaaSwin:同乘dx-->e^(2x)dy+2ye^(2x)dx-->[e^(2x)]dy+yd[e^(2x)]
→ BaaaSwin:在合併成-->d[ye^(2x)]
→ momo504131:然後分dy、dx兩部分作0~x的積分，對嗎?
→ BaaaSwin:後面就是我剛剛上面寫的/e^(2x)[u(t)-u(t-3)]dx
→ BaaaSwin:嗯嗯嗯
→ BaaaSwin:dy那邊不用定積分範圍
→ momo504131:抱歉，我現在寫到d[ye^(2x)]=(e^2x)dx
→ momo504131:兩邊做積分，等號右邊積分範圍是0~x
→ momo504131:變成y(e^2x)=(1/2)(e^2x)-(1/2)+C
→ BaaaSwin:d(ye^2x)=/e^(2x)u(t)dx-/e^(2x)u(t-3)dx(範圍都0~x)
→ momo504131:左右同除e^2x，變成y=(1/2)-(1/2)(e^-2x)+c(e^-2x)
→ BaaaSwin:你積分/e^(2x)u(t-3)dx應該等於[e^(2x)-e^6]/2
→ momo504131:對不起.../e^(2x)u(t)dx怎麼做定積分...
→ BaaaSwin:這是在x>3的情況下 所以->(1/2)u(x-3)(e^2x-e^6)
→ BaaaSwin:因為u(x)的定義是1,x>0  0,x<0  /e^(2x)u(x)dx=/e^(2x)dx
→ BaaaSwin:範圍是0~x  設x>0
→ BaaaSwin:-->(1/2)u(t)e^2x
→ BaaaSwin:打錯(1/2)u(t)(e^2x-1)
→ BaaaSwin:你去問老師好了= =我也混亂了...對不起
→ momo504131:/(e^2x)u(t)dx從0~x積分=(-1/2)+(1/2)e^(2x)
→ momo504131:/e^(2x)u(t-3)dx=(-1/2)u(t-3)+(1/2)u(t-3)e^2(x-3)
→ momo504131:帶入0~x變成[e^(2x-6)-e^(-6)]/2....
→ momo504131:恩，還是謝謝你，是我自己基礎沒學好...
→ BaaaSwin:我自己是覺得答案有錯  因為應該要有階梯函數才對
推 XEric0937X:我是劉明昌的這個應該是所謂的速度要連續和位移要連續
→ XEric0937X:y(C1)=y(C2)和y'(C1)=y'(C2)兩式解聯立 不過此法真的
→ XEric0937X:不推 因為他給的是IC 所以自然就會想到拉氏 有疑問可以
→ XEric0937X:在寄站內信給我...^^
→ momo504131:謝謝兩位，今早去圖書館借Zill的書來翻
→ momo504131:立題的觀念是把不連續點的x值帶入，然後兩式比較求C2
→ momo504131:再次謝謝兩位的解答，題目解完我很開心