[理工] 機率

[egody (這世界的規則都變了~~)]

Q1.

十元錢幣A、B共2枚，A擲出後人像向上之機率為0.1，B則為0.5，
若自此2枚錢幣隨機挑選1枚然後擲出2次，在擲出2次皆為人像之前提下，
被選之錢幣為B之機率為何？

ans: (25/26)


Q2.

假設球體的半徑是一個連續隨機變數，半徑r之機率密度函數f(r)=6r(1-r),0 < r < 1。
試求球體體積V的機率密度函數f(v)

V(r)=<4*pi*r^3>/3, dV=4*pi*r^2dr  r=[<3V>/<4*pi>]^3

由 f(r)dr=f(V>dv -> 6r<1-r>dr=f(V>*4pi*r^3dr 得f(V)
   ^^^^^^^^^^^^^

請問上面等式怎麼來的?



請問思考方向該如何計算? 3Q

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◆ From: 123.110.235.101
※ 編輯: egody           來自: 123.110.235.101      (11/17 12:58)
推 Bearcome:若選到A 機率0.1*0.1=0.01 若選到B 機率0.5*0.5=0.25
→ Bearcome:所有情形由B發生的可能0.25/(0.01+0.25)=25/26
推 APM99:半徑R  體積就會是 V(R)
※ 編輯: egody           來自: 123.110.235.101      (11/17 13:18)
推 APM99:給你隨機變數X跟pdf f(x)  那你會算隨機變數X^2 的pdf 嗎
→ APM99:會的話就是那樣算  不會的話那就
→ APM99:只能叫你去看書了
→ goshfju:f_V(v) = f_R( r(v) ) |J| ; J=dr/dv
→ goshfju:至於為什麼 其實就是cdf微分下來的結果 想嚴謹點就用cdf
→ goshfju:去推再微分吧
推 doom8199:那個式子只適用於 f:r→v is monotonic.  不然應該修正成
→ doom8199:f_V(v) |dv| = Σ f_R(r_i) |dr_i|  , i = 1 to n
→ doom8199:    其中  r_i is a root of v - V(r) = 0  w.r.t. r
→ doom8199:至於原因，書上應該都會從  P(y<Y≦y+dy) = f_Y(y)|dy|
→ doom8199:開始解釋。若看不懂的話把它當成機率的定義(or 均值定理)
→ doom8199:若沒這方面的基礎，建議就照 goshfju大所說，由cdf出發