推 mp8113f:或是等於最大Jordan block數 12/02 14:49
沒有錯，minimal polynomial的次方數 = 最大Jordan block數
※ 編輯: ILzi 來自: 125.224.88.190 (12/02 14:55)
※ 引述《TangHsing (阿魚)》之銘言：
: 在求最小多項式的時候
: 為什麼
: 當 dim( N(A-入I)交集col(A-入I) )=1時
: 最小多項式的次方才是特徵向量缺少個數+1
其實就是2次方..
: 其中的關聯性要從什麼角度去想呢?
: 還麻煩各位了
dim(N(A-λI)∩CS(A-λI))=1 (也就是所謂的"特徵向量缺少個數")
這行代表剛好有一個向量x滿足
x€N(A-λI)且x€CS(A-λI)
=> (A-λI)x=0 且 存在有y使得 x=(A-λI)y
2
=>(A-λI) y = 0 但 (A-λI)y≠0
畫個點圖來看的話就是這種現象
‧‧
‧
‧
‧
由光譜分解定理我們可以知道：對所有向量x，會有x=Σλ x
i i
當然這個x 是由λ 的廣義特徵向量所生成
i i
這時候回到最小多項式(minimal polynomial)的定義
m(A)= O
<=> 對所有向量x，m(A)(x)= 0
<=> m(A)(Σλ x ) = 0
i i
其他eigenvalue的事情暫且不管，反正minimal polynomial的其他部分會讓他們消失
我們回到上面提到的這個eigenvalue λ
上面的點圖提到，有四個eigenvector屬於N(A-λI)，也就是(A-λI)x = 0
2 2
然後有一個eigenvector屬於N((A-λI) )，也就是(A-λI) x=0，但(A-λI)x≠0
2
無論如何，這5個eigenvector都有一個特性，就是(A-λI) x=0
所以對於λ 所控制的部份
只要2次方，就可以滿足我們要的m(A)=O，也就是minimal polynomial的定義了
剛好就是"特徵向量缺少個數+1"
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.224.86.84