[理工][線代]對角化問題

[popular10347 (popular)]

看了黃子嘉老師的線性代數下冊

對角化有個定理不是很懂，請神人幫忙解惑，謝謝

Q1:thm.5-21 p.5-64
   假設 A : n x n，pA(x)在F中可分解且pA(x)=(λ1-x)(λ2-x)...(λn-x)，則

   (1)det(A)=λ1λ2λ3...λn
   (2)tr(A)=λ1+λ2+λ3+...λn

   想問說Ａ可分解是假設的還是所有nxn matrix都可以分解?
   因為我看下面的練習題都是直接當成矩陣可分解.
   所有nxn矩陣的det和tr都可以這樣算?

Q2:另外，旁邊p5-65的台大考題:
   If λ1,λ2,λ3,λ4,λ5 are all the eigenvalues of the matrix


        ／                   ＼
       ︱  4  -1   0   0   0  ︱
       ︱                     ︱
    A =︱ -1   3  -1   0   0  ︱
       ︱                     ︱
       ︱  0  -1   3  -1   0  ︱
       ︱                     ︱
       ︱  0   0  -1   3  -1  ︱
       ︱                     ︱
       ︱  0   0   0  -1   3  ︱
       ︱                     ︱
        ＼                   ／


    Find (λ1)^2+(λ2)^2+(λ3)^2+(λ4)^2+(λ5)^2.



    我不懂為什老師書上寫說:
    "因為A具eigenvalue λ1,λ2,λ3,λ4,λ5
     所以A^2具eigenvalue (λ1)^2...(λ5)^2"

 Q3: 當有特徵方程式有重根時，他的eigenvalue要寫的和重根數一樣多還是只要寫一個?
     eg: pA(x) = (x-1)^2,則所有的的eigenvalue為1,還是1,1?
     老師書上兩種都有寫過


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◆ From: 1.34.27.208
推 Bearcome:第二題是eigenvalue表現定理
→ popular10347:Bearcome大大 你是說課本p.5-40 thm.5-12這個定理?
→ yraid:Q1在前一頁有可分解的定義 簡單來說就是根要落在F中
→ yraid:Q3的話要寫和重根數一樣多..你的那個例子兩個是一樣意思吧
→ popular10347:yraid大大 不好意思!想問一下是不是有eigenvalue就
→ popular10347:代表一定可分解? 如果是這樣我大概懂了
→ popular10347:另外，Q3的eigenvalue應該是兩個1...那寫答案是要
→ popular10347:寫兩個1還是一個1就好?
→ Murasaki0110:實矩陣一定有eigenvalue, 能不能對角化是另外的事
→ BaaaSwin:能不能對角化應該看有沒有少特徵向量??
→ yraid:如果他說F在R中，那你解出一個虛根的eigenvalue就不可分解
→ yraid:但如果F是落在C中，則可以分解
→ yraid:一般會當作可分解是因為 平常寫題目較少碰到實矩陣但
→ yraid:特徵根卻是虛根的
→ yraid:Q3的話我會寫1,1...主要是因為可以表達出代數重數的概念
→ yraid:不過如果寫"其eigenvalue為1"我覺得也不算錯啦..
→ yraid:因為那樣的意思就是把eigenvalue看做一個集合，集合不計重數
→ yraid:因為我在課本上只找到一題只寫一個的，所以還是建議寫成1,1
→ popular10347:謝謝yraid大大
→ popular10347:BaaaSwin大大你說的是對的
→ popular10347:抱歉! 上面打錯了...
→ popular10347:BaaaSwin大大我不太懂你的意思耶
→ popular10347:你說的應該是是否有n個線性獨立的特徵向量?
→ BaaaSwin:恩,是這個意思,我也搞不太懂
→ popular10347:其實這個就是從特徵向量空間中取出所有的basis