[理工] 線代

[kiki86151 (白飯)]

題目:http://ppt.cc/4LBb
雖然有詳解 看過後回來看卻但一直搞不懂這題= =有請協助
                      [1 2 3 4]
只知道當列運算時候變成[0 1 2 3]=> rank(H)=2
                      [0 0 0 0]
                      [0 0 0 0]
所以=>nullity(H-0I)=n-rank(H)=2
因此0為H的eigenvalue且幾何重數gm=0,代數幾何重數am>=2
最後H還有兩個eigenvalue分別假設 a 和 b
多項式就變成charH(x)=(0-x)(0-x)(a-x)(b-x)=x^4-(a+b)x^3+(ab)x^2
又tr(H)=入1+入2+入3+入4=0+0+a+b=1+6+11+15=34
因此由上面可以知道α=34 γ=0(因為 沒有x項) 但β就很難算了= =只知道β=ab


                  |1 2|   |1  3|   |1  4|   |6   7|   |6   8|   |11 12|
重點來了詳解說ab=(|5 6| + |9 11| + |13 6| + |10 11| + |14 16| + |15 16|)=-80
WTF= =上面那方法從什麼定理來的 抱歉因為我自讀的所以沒有什麼印象Q_Q

因此可以推導charH(x)=x^4-34x^3-80x^2
所以當題目要求H^3=αH^2+βH+γI4 ===>根據上式x^4=34x^3+80x^2
得α=34 β=80 γ=0
還有另一種方法 但也不太懂...
先假設x=[1 1 1 1]^T  y=[1 2 3 4]^T  z=[0 4 8 12]^T
因此H=xy^T+zx^T = AB
其中A=[x z] B=[y^T x^T]^T
因為AB與BA具相同0 eigenvalues
先計算BA的特徵多項式
10 80
4　24
所以可得det(BA-xI)=x^2-34x-80
又BA具兩個非零的eigenvalue 為a和b
接下來上面推的AB還具有eigenvalue 0且am(0)=gm(0)=2
因此A的minimal polynomial為 x(x-a)(x-b)
=> 0=H(H-aI)(H-bI)=H^3-34H^2-80H
=> H^3=34H^2+80H

這種解法算是很清潔= =但我懷疑真正考的時候 會想到先假設x,y,z來拆H來解Orz
不然這樣只是背解法就沒意義了QQ
我比較想知道ab到底要甚麼算的...這題重點是把eigenvalue找出來就解決了
4*4有4個特徵值a,b,c,d 因此可以 用暴力法det(A-入I)=0求eigenvalue
但很浪費時間...

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◆ From: 140.115.213.99
推 APM99:nullity(H-0I)=n-rank(H)=2   why?
→ kiki86151:樓上那是從A=n*n matrix rank(A)+nullity(A)=n導出來的
→ kiki86151:很基本的定理= =也可以寫成dim(ker(H))=4-2=2 0為特徵值
→ kiki86151:可以參考小黃第4章5小節
推 Bearcome:想問一下詳解是補習班發的嗎?
推 APM99:這兩種算法都只是巧合而已   真正要算當然是成開來算
→ APM99:改個數字你怎辦
推 seal0112:這題就暴力法解，矩陣不大
→ seal0112:林緯老師的解法可以直接拿去問老師啊
→ kiki86151:先說一下原PO沒有補習..前面α=34,γ=0利用多項式特徵解
→ kiki86151:可以了解阿 本來就這樣解的吧 但ab的算法有點讓我不理解
→ kiki86151:第1個解法的確是林緯老師 第2解法是黃子嘉網站助教的解
→ kiki86151:正常來說我當然知道可以暴力解..這不是我要問的重點吧QQ
推 ZanFu5566:我回應你了 只要符合某一些條件 那個方法是可用的