推 kiki86151:有一點懂了!!感謝大大解說沒想到特殊解法就只能暴力= = 12/25 23:00
→ ZanFu5566:我建議考試還是暴力解比較好..沒有時間給你判斷XD 12/25 23:11
※ 引述《kiki86151 (白飯)》之銘言：
: 題目:http://ppt.cc/4LBb
: 雖然有詳解 看過後回來看卻但一直搞不懂這題= =有請協助
: [1 2 3 4]
: 只知道當列運算時候變成[0 1 2 3]=> rank(H)=2
: [0 0 0 0]
: [0 0 0 0]
: 所以=>nullity(H-0I)=n-rank(H)=2
: 因此0為H的eigenvalue且幾何重數gm=0,代數幾何重數am>=2
: 最後H還有兩個eigenvalue分別假設 a 和 b
: 多項式就變成charH(x)=(0-x)(0-x)(a-x)(b-x)=x^4-(a+b)x^3+(ab)x^2
: 又tr(H)=入1+入2+入3+入4=0+0+a+b=1+6+11+15=34
: 因此由上面可以知道α=34 γ=0(因為 沒有x項) 但β就很難算了= =只知道β=ab
Ax = 入x
H^3 = 入^3x
H^2 = 入^2x
H^3x = α入^2x+β入x+γx
入^3x-α入^2x-β入x-γx=0
(入^3-α入^2-β入-γ)x=0
since x wont be 0
(入^3-α入^2-β入-γ)=0 ------(1)
By Rank-Nullity
n=Null(A)+rank(A)
Null(A)=n-rank(A)=2
two 入=0
(1)---->γ=0
(1)---->入^2-α入-β=0
入!=0
assume 入1=a 入2=b
a^2-αa-β=0 ---(2)
b^2-αb-β=0 ---(3)
(2)+(3)
a^2+b^2 -α(a+b)-2β=0
-->(a+b)^2 - 2ab-α(a+b)-2β=0 ----(4)
since tr(A)= 入1+入2+入3+入4=0+0+a+b=34
--> a+b=34
34^2-2ab-34α-2β=0
--> 578-ab-17α-β=0 ---(5)
(2)-(3)
--> a^2-b^2-α(a-b)=0
--> (a+b)(a-b)=α(a-b)
--> a+b=α=34
--> 578-ab-17*34=β
---> -ab=β
-----------------
|1 2| |1 3| |1 4| |6 7| |6 8| |11 12|
解說ab=(|5 6| + |9 11| + |13 "16"| + |10 11| + |14 16| + |15 16|)=-80
解設3x3的大小
A=
|a00 a01 a02|
|a10 a11 a12|
|a20 a21 a22|
det(A-入I)=
|a00-入 a01 a02 |
|a10 a11-入 a12 |
|a20 a21 a22-入|
Constant : a00a11a22-a00a12a21-a01a10a22+a01a12a20+a02a10a21-a02a20a11
入 : -a00a11+a01a10-a00a22+a02a20-a11a22+a12a21 稱作Y
入^2 : a00+a11+a22 稱作X
入^3 : -1
由於這陣列長這樣
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
所以Constant = 0
det(A-入I)變成
入^3-入^2X-入Y=0
提出入
--> 入(入^2-入X-Y)=0
入^2-入X-Y=0
假設2非0 eigenvalue 入1,入2
入1^2-入1X-Y=0 ----(6)
入2^2-入2X-Y=0 ----(7)
(6)-(7)
入1^2-入2^2-(入1-入2)X=0 ---(8)
(6)+(7)
入1^2+入2^2-(入1+入2)X-2Y=0 ---(9)
(8)
--->
(入1+入2)(入1-入2)-(入1-入2)X=0
==> X=入1+入2 = tr(A) 因為已有一個eigenvalue=0
(9)
-->
(入1+入2)^2-2入1入2-(入1+入2)X-2Y=0
--> tr(A)^2-2入1入2-tr(A)^2-2Y=0
--->-2入1入2-2Y=0
====> 入1入2=-Y
-------------------------------------------
回到原本題目 只要算出-Y即可知道ab
我想可能是這題特殊的地方..
你要能算出-Y=ab的前提是Constant項為0
那Y的算法就是
|"1" "2" 3 | |"1" 2 "3"| |1 2 3 |
|"4" "5" 6 | | 4 5 6 | |4 "5" "6"|
| 7 8 9 | + |"7" 8 "9"| + |7 "8" "9"|
對於4x4的架構也是一樣
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