推 micksparrow:非常感謝!!! 01/07 00:24
→ micksparrow:第一題的條件變異數σ^2 (Y│X)也想請問該如何計算? 01/07 00:53
※ 引述《micksparrow (給我毅力)》之銘言：
: 1.若隨機變數X之期望值E(X)=μ，變異數Var(X)=σ^2，令Y= (μ-X)/σ，
: 可求得X, Y乘機的期望值E(XY)=？。Y對X的迴歸係數β_1=？。
: 條件變異數σ^2 (Y│X)=？。
E(XY)=E(X(μ-X)/σ)= (μ/σ)E(X) - (1/σ)E(X^2)
=(μ/σ)μ - (1/σ)( Var(X) + (E(X))^2 )
=μ^2/σ - (σ^2 + μ^2) /σ
= -σ^2/σ = - σ
Cov(X,Y)=Cov(X,(μ-X)/σ)= - (1/σ)Var(X) = -(1/σ) * σ^2 = -σ
β=Cov(X,Y)/Var(X)= -σ/σ^2 = -1/σ
: 2.若Z_1,..., Z_n是抽自標準常態分配的隨機樣本，令隨機變數X=Σ(Z_i-Z bar)^2，
: 則X分配的二級原動差=？，四級主動差=？。
這好像是填充題 一格兩分= =
如果你想考這間要記些東西
(這題感覺是要記卡方分配的峰態)
因為他只要答案 不會看過程
但我還是當作推導題去推
Σ(Zi-Zbar)^2/σ^2 = Σ(Zi-Zbar)^2 = X ~ χ^2(n-1) = Γ( (n-1)/2 , 1/2)
m2 = E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2 = 2(n-1) + (n-1)^2 = (n-1)(n+1)
(n-1)/2 (n-1)/2 -1 -1/2 *x
f(x) = (1/2) /Γ( (n-1)/2 ) * x e ; x>0
做下積分會發現 X 的各階原動差是有規則的 :
E(X) = n-1 = μ
E(X^2) = (n-1)(n+1)
E(X^3) = (n-1)(n+1)(n+3)
E(X^4) = (n-1)(n+1)(n+3)(n+5)
上面四個就可以求出四級主動差 :
μ4=E(X-μ)^4=E(X^4)-4E(X^3)μ+6E(X^2)μ^2-4E(X)μ^3+μ^4
將各階原動差代入即可..
但一格兩分不適合這樣做就是 = =a
: 第1題前兩格我的答案是-σ和-1/σ（不知道對不對？）
一模一樣
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