作者five5six6 (_( 3」∠)_)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 複變
時間Tue Jan 8 19:36:49 2013
∞ ln(x^2 + 1)
求
∫ ─────dx
0 x^2 + 1
[解答算法]
∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) ∞ ln( x + i )
∫ ─────dx = ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :拆開極限
-∞ x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
↑
可用殘數法 ∞ ln(-x + i ) ∞ ln( x + i )
= ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :變數變換
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln(-1) + ln( x - i) + ln( x + i)
= ∫ ────────────────dx :分解ln
0 x^2 + 1
∞ ln(-1) + ln( x - i)( x + i)
= ∫ ────────────────dx :合併ln
0 x^2 + 1
∞ ln(-1) ∞ ln( x^2 +1)
=
∫ ─────dx +
∫ ──────dx
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i )
∞ ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx
- ∫ ──────dx :移項
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
0 x^2 + 1
[我的算法]
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln( x - i )
∫ ──────dx= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :分解ln
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln(-x - i )
= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :變數變換
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) + ln(-1)
= ∫ ──────dx + ∫ ──────────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln(-1)
= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :合併極限
-∞ x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i )
0 ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx
+ ∫ ──────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
-∞ x^2 + 1
可是比對[解答算法]
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i )
∞ ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx
- ∫ ──────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
0 x^2 + 1
其中
0 ln(-1) 偶函數
∞ ln(-1)
∫ ──────dx =
∫ ──────dx
-∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
為什麼差個
負號呢?
--
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◆ From: 36.227.84.100
→ cg1436:101南交光電? 01/08 20:14
→ cg1436:上下限是-無限大，不是無限大 01/08 20:17
→ five5six6:恩南交 你是說最後一個等號嗎? 01/08 20:23
推 Feynman5566:不是一樣嗎= = 01/09 00:39
推 yhchen2:你最後一行都寫相等了為什麼倒數第二行還要加負號= =? 01/09 02:07
→ five5six6:有一樣嗎? 倒數第二行有加負號的是[解答算法] 01/09 11:43
推 WinAVI:請問一下你的算法第一行 to 第二行 01/09 12:05
→ WinAVI:是不是把ln(x - i)/(x^2 + 1)當成奇函數呀? 01/09 12:06
→ five5six6:另x=-x變數變換 再用負號換上下限 01/09 12:12
剛又想了一下
ln(-1) = -ln(-1) = ln(-1^-1).......真的一樣
不過
ln(-1)=ln(e^iπ)=iπ ≠ -ln(-1)=-ln(e^iπ)=-iπ 是為什麼?繞過了支切嗎?
※ 編輯: five5six6 來自: 36.227.89.19 (01/09 12:27)
推 yhchen2:ln(-1)=ln(e^i(1+2n)π) 01/09 12:55