Re: [理工] [線代] 對角化..保證難

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《wsx02 ()》之銘言：
: ┌        ┐
: │2 1    1│
: │1╲╲   │
: │ ╲╲╲ │沒打的代表0, 這是n*n的實矩陣A且n>3
: │   ╲╲1│
: │1    1 2│
: └        ┘
:                              T
: 1. 求orthogonal matrix Q, 使Q AQ = D, 對角矩陣D是對角線元素從左上到右下遞減
:    ( d11 >= d22 >= d33 >= dnn )
: 2. 這n個eigenvalue是哪些?
: 請高手指點
: 感謝
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    那個矩陣是 circulant matrix  (toeplitz matrix 的其中一個特例)

    可以直接用 DFT 作對角化

                                2       n-1 T
    ie.,  eigenvector = [1, w, w , ...,w   ]

                                 n-1                             n
      <=>  eigenvalue = 2 + w + w      ,  where  w is a root of x  = 1



    亦即  Q 為 DFT matrix
                                       2πk
      而  λ is belong to { 2*[1 + cos(──)] │ k = 0 ~ (n-1)}
                                         n



    不過這裡要注意的是，題目要求 diag(D) 為 descending order

    所以 Q = [v(0), v(1), v(n-1), v(2), v(n-2), ... ]

       其中  v(k) 為 λ(k) 的 eigenvector

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◆ From: 220.137.73.23
推 SS327:推推@@
推 wsx02:感謝