[商管] 統計 概似比之檢定統計量

[tokyo291 (工口工口)]

If X_1,X_2,...,Xm and Y_1,Y_2,..,Y_n are independent random samples

from normal distribution N(μ_1,σ_1^2) and N(μ_2,σ_2^2), respectively.

Consider the test H0: μ_1=μ_2 and σ_1^2=σ_2^2 against al alternatives.

Please construct a likelihood ratio test of H0

這一題我找出在H0和H1下個別參數的MLE並將其帶入得到


   m               n
{[Σ(x_i-μhat)^2+Σ(y_j-μhat)^2]/(m+n)}^(-(m+n)/2)
  i=1             j=1
-----------------------------------------------------=λ(x,y)<k
  m                         n
[Σ(x_i-xbar)^2/m]^(-m/2)*[Σ(y_j-ybar)^2/n]^(-n/2)
 i=1                       j=1

然後參考解答將上述化簡為

 m              n
Σ(x_i-xbar)^2+Σ(y_j-ybar)^2
i=1            j=1
-------------------------------- <k_1   ...(i)
 m               n
Σ(x_i-μhat)^2+Σ(y_j-μhat)^2
i=1             j=1

他附注的過程是
 m               m                             m*n^2
Σ(x_i-μhat)^2=Σ[(x_i-xbar)+(xbar-μhat)]^2=-------(xbar-ybar)^2
i=1             i=1                           (m+n)^2
     n               m^2*n
同理Σ(y_j-μhat)^2=--------(xbar-ybar)^2
    j=1             (m+n)^2

但是我照此方法帶入卻無法得到(i)式,在指數的次數部分就消不掉...

感覺上是解答錯了,請問對於此檢定統計量的化簡還有其他的方法嗎?

附上個參數之MLE

under H0 μhat=(m*xbar+n*ybar)/(m+n)

          m               n
σ^2hat=[Σ(x_i-μhat)^2+Σ(y_j-μhat)^2]/(m+n)
         i=1             j=1

under H1 μ_1hat=xbar  μ_2hat=ybar
               m                             n
   σ_1^2hat=[Σ(x_i-xbar)^2]/m  σ_2^2hat=[Σ(y_j-ybar)^2]/n
              i=1                           j=1


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.227.244.100
推 goshfju:同時檢定 μ_1=μ_2 跟 σ_1^2=σ_2^2 ?? 這超難吧=.=
推 david80701y:應該是把變異數當成相等去求LRT，不然太……嗯
推 heart21607:這題不是交大財金100年的題目
→ heart21607:這題沒辦法算完