[理工] 高階ODE 工數

[howard12005 (阿浩)]

Slove: sin(x)*y''+2cos(x)*y'+3sin(x)y=e^x

由觀察法得之一齊姓解為cos(x)

故令y=cos(x)*v  y'=-sin(x)*v+cos(x)*v'  y''=-cos(x)*v-2six(x)*v'+cos(x)*v''

代入ODE

--> sin(x)*(cos(x)*v''-2sin(x)*v'-cos(x)*v)+2cos(x)*(cos(x)*v'-sin(x)*v)

    +3sin(x)*(cos(x)*v)

--> (sin(x)*cos(x))v''+(2cos^2(x)-2sin^2(x))v'+(3sin(x)cos(x)-3sin(x)cos(x))v=e^x

                             cosx     sinx       e^x
--> 同除sinxcosx--->  v"+2(----- － ------)v'=----------
                             sinx     cosx     sinxcosx

-->令v'=z v''=dz/dx

         2(cos^x-sin^x)      e^x
-->z'+------------------z=------------
           sinxcosx         sinxcosx

I(x)=e^2∫cosx/sinx-sinx/cosx dx = (sinxcosx)^2

-->d/dx(I(x)*z)=∫e^x*sinx*cosx dx =??????  這裡不會積


然後還有一題

Slove: y''+6y'+9y= 8e^(-3x)
                    ---------
                     (x^2)+1

齊姓解為YH=c1e^-3x+c2x*e-3x

      8                  1
yp=----------- e^(-3x)-------
     (D+3)^2           x^2+1
                                  1
  = 8e^(-3x)∫∫e^(3x)*e^(-3x) -------dxdx
                                x^2+1
  = 8e(-3x)∫tan^-1(x)dx

  =????  這裡怎麼積



感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.62.200.170
推 ggyy940:uv-∫vdu
→ ggyy940:我指的是第二題 因為我直接end  XDDDDDDDD
→ ggyy940:第一題用逆運算子  sinx*cosx 先換成(1/2)sin2x
→ howard12005:那第二題 tan^-1(x) 怎麼積
推 ggyy940:tan^-1(x)=u v=x  但分部積分 即可
→ ggyy940:                 帶
→ howard12005:啊 我知道了感謝