[理工] 迴歸和獨立

[tokyo291 (工口工口)]

1. X_1,...,X_n are iid in f(x)

  f(x)= θ  ,x=1
       1-θ ,x=3

use OLSE to estimate θ.

我的作法是E(X)=3-2*θ Σ(θ-E(X))^2在對θ微分

這邊我算出來的估計量是θhat=1

感覺好奇怪...

2.Let X_1,...,X_n be a random sample from the normal distribution
                                                         n
N(μ,σ^2) where μ and σ are both unknown. Are Xbar andΣ(X_i-Xbar)^4
                                                         i=1
independent? Prove it.

這一題我是想用Lukacs(1942)證出一個sample mean 和sample variance的covariance

的想法去證可是證到一半就卡住了QQ

不曉得還有沒有別的證法呢?

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◆ From: 218.166.0.146
→ Yogaga:第一題應該是sum(X_i-E(X))^2再對theta微分
→ Yogaga:第二題先考慮Xbar和X_i-Xbar，做兩者之covariance
→ Yogaga:可算出Cov(Xbar,X_i-Xbar)=0
→ Yogaga:故可知兩者不相關，又因為兩者都是常態分配
→ Yogaga:所以可以知道Xbar與X_i-Xbar獨立
→ Yogaga:所以Xbar與(X_i-Xbar)^4獨立
→ Yogaga:所以Xbar與sum(X_i-Xbar)^4獨立
→ tokyo291:感謝您!