[理工] 找順序統計量的分配

[tokyo291 (工口工口)]

Let Y1<Y2<...<Y10 be the order statistics of a random sample

of size 10 from a distribution of the continuous type having

distribution function F(x). Determine the distribution of V

= F(Y10)-F(Y5)+F(Y2)-F(Y1)
                                 iid
這一題因為F(X1),F(X2),...,F(X10)----->Uni(0,1)

所以F(Y1),F(Y2),...,F(Y10)很好找

所以我就從F(Y10),F(Y5),F(Y2),F(Y1)他們的joint pdf下手去做

另W1=F(Y10)-F(Y5)  F(Y5)=W3-W1
                                     |-1  0  1  0|
  W2=F(Y2)-F(Y1)   F(Y1)=W4-W2       | 0 -1  0  1|
                                |J|=|| 0  0  1  0||=1
  W3=F(Y10)        F(Y10)=W3         | 0  0  0  1|

  W4=F(Y2)         F(Y2)=W4

再來就作變數變換卡在範圍不知道怎麼定...

還是有別的作法可以做出來呢?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 36.239.247.179
推 lmvue:beta(6,5)
→ tokyo291:請問是怎麼推到的呢？
推 david80701y:beta是直接用背的，可以由r.v轉換證
推 goshfju:cdf ~ U(0,1) 而 U(0,1) 的排序就會變成 Beta
→ tokyo291:可是這邊是4個線性組合，我只看過2個的公式@@
→ goshfju:++--也會變成Beta
→ goshfju:但考試還是要推吧.. 就是硬幹就對了..
推 lmvue:let F(Yj)=(W1+...+Wj)/(W1+...+Wn+1), for all j=1,...,n
→ lmvue:where Wi be iid Exp(1) variables.....
→ lmvue:then you can get the answer.....
推 lmvue:and take n=10
上面的這個證法我有看過,只是證到2以上的就不知道該怎麼證了...

然後後來我換別的轉換來證

F(Y1)=y1 F(Y2)=y2 F(Y5)=y3 F(Y10)=y4

                10!       2       4
f(y1,y2,y3,y4)=----*(y3-y2)*(y4-y3)    0<y1<y2<y3<y4<1
               2!4!

W1=y4-y3+y2-y1   y1=W4-W3+W2-W1
                                    |-1  1 -1  1|
W2=y2            y2=W2              | 0  1  0   |
                               |J|=|| 0  0  1  0||=1
W3=y3            y3=W3              | 0  0  0  1|

W4=y4            y4=W4


                10!       2       4
f(w1,w2,w3,w4)=----*(w3-w2)*(w4-w3)  0<w4-w3+w2-w1<w2<w3<w4<1
               2!4!


               1   10!       2       4
f(w1,w2,w3)   =∫ ----*(w3-w2)*(w4-w3)dw4
               w3 2!4!

                10!       2      5
              =----*(w3-w2)*(1-w3)  0<-w3+w2-w1<w2<w3<1
               2!5


            1   10!       2      5
f(w1,w2)   =∫ ----*(w3-w2)*(1-w3)dw3
            w2 2!5!

                10!       8
              =----*(1-w2)   0<w2-w1<w2<1
                 8!

         1   10!       8
f(w1)   =∫ ----*(1-w2)dw3
         w1  8!

          10!       9
        =----*(1-w1)   0<w1<1  證出來變成Beta(1,10)QQ 請問是哪裡錯了呢?
           9!
※ 編輯: tokyo291        來自: 61.227.244.17        (02/19 23:40)
推 lmvue:F(Y10)-F(Y5)+F(Y2)-F(Y1)=(W10+W9+..+W6+W2)/(W1+...+W11)
推 lmvue:where Wi be iid Exp(1), so.....
→ tokyo291:感謝!原來是我搞錯方向...