推 vecan:同意觀點 要多想不要落掉基礎只想躁進 04/13 19:33
→ jurt:同意 不過還是要背一些自己的口訣 解題比較快 04/16 19:25
→ jurt:平時的思考過程 可以幫你忘記口訣時的推導 04/16 19:28
推 ccccc7784:現在才看到，感謝各位 04/17 00:13
推 peace860226: 感謝 07/14 13:14
: : 定理是若A:m*n矩陣
: : 則rank(A)=m 若且唯若 Ax=b至少一解
線代這一科，
其實平常要多去想「為什麼」，
想通了很多觀念自然就會覺得理所當然:)
先從基本概念談起，
首先我們知道把聯立方程式寫成增廣矩陣，變成Ax = b的形式；
此時b如果屬於R(A)，那此方程式有解，否則無解；
R(A)是column space of A，
用以前高中學到的概念來說明就是，
增廣矩陣[A|b]做高斯消去法，
若b可以被消成non-pivot column，則表示b與R(A)相依，也就是b屬於R(A)；
若高斯消去法的結果，b是有pivot的cloumn，則表示b與R(A)獨立，也就是b不屬於R(A)
接著就如樓上大大所述，將矩陣分成胖矩陣(m < n)和瘦矩陣(m > n)；
這裡不討論方陣，因為A若為n*n的矩陣，
若rank(A) = n則有唯一解，而以下討論的在方陣都適用。
然後如果rank(A) = m，則表示此矩陣為胖矩陣；
因為如果是瘦矩陣(m > n)，m個向量最多n維，這樣一來rank(A)會是n而不是m；
那胖矩陣且rank(A) = m，這樣表示未知數比方程式數目還多，
這樣的聯立方程式會是無限多解，是謂至少一解。
: : rank(A)=n 若且唯若 Ax=b至多一解
同理，這樣就會是瘦矩陣，並且rank(A) = n，
此時方程式數目和未知數一樣多，因此是唯一解，
若增廣矩陣[A|b]的b經由高斯消去法無法變成non-pivot column，
則此聯立方程式為無解，因此確切來說，
Ax = b中，b屬於R(A)的是唯一解，其他無解，此謂至多一解。
: : 但我不太會套入題目中應用，如果rank不等於m也不等於n呢?
: : 大於或小於的情況又是如何?
就原po說的「rank(A)不等於m也不等於n」的情況下討論其它case：
(1)胖矩陣(m < n)
rank(A) < m => b屬於R(A)的無限多解，其他無解
(這裡當然rank(A) < n)
(2)瘦矩陣(m > n)
rank(A) < n => b屬於R(A)的無限多解，其他無解
(這裡當然rank(A) < m)
小結：rank(A) < m , rank(A) < n 者，b屬於R(A)的無限多解，其他無解。
至於迅速的解題...
平常要多練習，看到這個題目先畫胖/瘦矩陣，
再用常理去判斷，久了就會記起來了:)
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※ 編輯: yraid 來自: 140.122.185.201 (04/13 01:23)