推 murray5566:謝謝 04/19 13:35
※ 引述《murray5566 (睡覺睡到自然醒)》之銘言：
: 書上看到的列式
: tan^-1(w/10^4)+2tan^-1(w/10^5)=180度______(1)
: 他求解w的方法是
: w=10^4 帶入(1)式
: 45+2*5.7=56.4
: w=10^5 帶入(1)式
: 84+2*45=174.2
: 然後說交互求解 w~=1.1*10^5
: 我的問題是
: tan^-1()又不是線性的
: 怎麼交互求解阿...而且卡西歐 有辦法直接解(1)嗎?
可以用線性插值估計 令f(w)=atand(w/10^4)+2*atand(w/10^5)
A = 10^4, f(A) = 56.4
B = 10^5, f(B) = 174.2
C = w, f(C) = 180
要求w=多少時,f(w)=180
既然是線性可以用斜率相等列式
f(C)-f(B) f(B)-f(A) 180-174.2 174.2-56.4
--------- = --------- => --------- = ----------
C-B B-A w-10^5 10^5-10^4
這樣可求出 w = 104431
但因為你是把這段函數當成直線近似 所以一定有誤差
實際代回f(w)大約=177
不過計算的區間越小會越接近直線
如果覺得不夠準就再插值一次
A = 10^5, f(A) = 174.2
B = 104431, f(B) = 177
C = w, f(C) = 180
180-177 177-174.2
-------- = -----------
w-104431 104431-10^5
w = 109179, 這時f(x)=179.8 已經夠準了
所以解答寫w~=1.1*10^5
另外這個式子你的計算機如果是991系列的話可以直接解
我以fx-991ES為例
首先確定模式為實數
三角函數我習慣用徑度模式
輸入tan^-1(X/1*10^4)+2tan^-1(X/1*10^5)=π
等號和X會需要用到ALPHA這個鍵
然後按SOLVE(會用到SHIFT)
會顯示Solve for x 此時你要輸入一個初始猜值
輸入1*10^5 然後按= 就會開始求解
可解出X=109544.5115
如果你的計算機沒有這個功能 也可以用Ans這個暫存器來自己寫牛頓法
牛頓法的疊代式為 x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)
當你給了初始猜值 也就是x_0
就可以把他代入右式計算 得到x_1
重複此步驟就可以一直疊代出新的x 直到收斂
而計算機按=之後的結果都會暫存到Ans裡
所以只要把右式的x_k用Ans代換
計算後的結果又會得到新的Ans 便可一直疊代下去
改寫原式tan^-1(w/10^4)+2tan^-1(w/10^5)-π=0
因為要微分 所以先做個變數變換 不然係數太多計算機不好按
令x=w/10^5
所以原式變成 f(x) = tan^-1(10x)+2tan^-1(x)-π
f'(x) = 10/(1+100*x^2) + 2/(1+x^2)
計算機先按1 = 讓他存到Ans當初始猜值
輸入Ans-(tan^-1(10Ans)+2tan^-1(Ans)-π)/(10/(1+100*Ans^2) + 2/(1+Ans^2))
然後一直按= 到出現的數字沒有變化
可得x=1.095445115
所以w=x*10^5=109544.5115
其實牛頓法會收斂的話收斂速度很快 加上初始猜值猜的很近
按個三次就得到解了
不過如果一開始猜的太遠的話是有可能發散的
還有要注意的是刮號太多小心不要打錯
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