Re: [理工] [工數]ODE

[blueozone (遲來的懲罰)]

※ 引述《sweetycool (tina)》之銘言：
: http://ppt.cc/hFHJ
: 想問一下這題特解部分有沒有比較快速的又好記的解法呢?
: 詳解用待定系數太複雜,反運算子要記公式
: 謝謝

逆運算子直接硬幹

yp = Re[1/(D^2+1) * xexp(ix)]

   = Re[exp(ix) * 1/(D^2+2iD) * x]

   = Re[exp(ix)/2i * [(1/D - 1/(D+2i)) * x]]

   = Re[exp(ix)/2i * (x^2/2 - 1/4 - x/2i)]

   = xcosx/4 + x^2sinx/4 - sinx/8

其中sinx/8可被齊性解合併 直接算也不會很麻煩 參考一下

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.160.97.45
推 sweetycool:會算了,這招漂亮,感恩
→ sweetycool:1/(D+2i)) * x=1/4 + x/2i 這邊過程是不是有用分部積分
→ sweetycool:阿,看你直接寫出結果
這邊用近似數列級數的概念
1/(D+2i)) * x = (1/2i) * [1/(1+D/2i)] *x
              = (1/2i) * [1 - (D/2i) + (D/2i)^2 - (D/2i)^3 +。。。。] * x
              = (1/2i) * [x - (1/2i) + 0 - 0 + 。。。。]

逆運算子同場加映~~這方法很好用

yp = Re[1/(D^2+1) * xexp(ix)]

   = Re[exp(ix) * 1/(D^2+2iD) * x]

   = Re[exp(ix) * 1/D(D+2i) * x]        or Re[exp(ix) * 1/(D+2i)D * x]

   = Re[exp(ix) * 1/D * (1/(D+2i) * x)] or Re[exp(ix) * 1/(D+2i)*(1/D * x)]

   = Re[exp(ix) * 1/D * (x/2i + 1/4)]   or Re[exp(ix) * 1/(D+2i)*(x^2/2)]

   = Re[exp(ix) * (x^2/4i + x/4)]       or Re[exp(ix) * (x^2/4i + x/4 - 1/8i)]

   = xcosx/4 + x^2sinx/4                or xcosx/4 + x^2sinx/4 - sinx/8
                                                               ^^^^^^^^^
                                                           可被齊性解合併部分

以上可看出先微分 --> 再積分 就不會有可被齊性解合併部分出現

※ 編輯: blueozone       來自: 118.160.97.45        (07/13 15:02)
推 sweetycool:級數這招漂亮,比分部積分快多了,感謝您