推 joe0966:感謝b99703117大的精闢解說，小弟佩服地五體投地 07/31 23:45
※ 引述《joe0966 (joe)》之銘言：
: 題目如下:
: A set of 200 people , consisting of 100 men and 100 women ,
: is randomly divided into 100 pairs of 2 persons in each pair .
: Let Xi be a randomly varible whose value is 1 when man " i " is
: paired with a woman , otherwise its is zero .
: [94 台大電子甲工數]
講白一點 題目說 一百個男人 一百個女人 兩兩配成一對(不限性別)
Xi=1 if 編號'i'男人 配到一個女人
=0 otherwise
: (a) What is E[Xi] ?
E[Xi]=Pr(Xi=1) 即 'i'男人 配到女人的機率
，扣掉他自己 還有199人 從中隨機配對一名
配到女人的機率為 100/199 #
: (b) What is E[XiXj] for i不等於j
Xi˙Xj= 1 if 編號"i"&"j"男人都配對到女人
= 0 otherwise
E[XiXj]=Pr(Xi=1交集Xj=1) ，由於 Xi and Xj 不是獨立事件
Pr(Xi=1交集Xj=1)=Pr(Xj=1|Xi=1)˙Pr(Xi=1) (條件機率)
Pr(Xi=1)=100/199 如上
Pr(Xj=1|Xi=1): 已知"i"男人配到女人 ，"j"男人配到女人的機率
扣掉"i"男人和他的女人 還有"j"男人自己 ，還剩197人(98男 99女)
"j"男人從中隨機挑一人配對 配到女人的機率是 99/197
故 Pr(Xj=1|Xi=1)=99/197
E[XiXj]= 100/199 X 99/197 #
: 我的做法: ( X 代表 乘的符號 )
: (a)
: 100 X C(198,2) X C(196,2) X ... X C(2,2) 1
: E[Xi] = ------------------------------------------ = -----
: C(200,2) X C(198,2) X ... X C(2,2) 199
: (b)
: 100 X 99 X C(196,2) X C(194,2) X ... X C(2,2) 1 1
: E[XiXj] = ------------------------------------------------ = --- X ---
: C(200,2) X C(198,2) X ... X C(2,2) 199 197
: 高成書上的做法:
: (a)
: 100 X C(100,1) X C(198,2) X C(196,2) X ... X C(2,2) 100
: E[Xi] = ---------------------------------------------------- = ---
: C(200,2) X C(198,2) X ... X C(2,2) 199
: (b)
: C(100,1) X C(99,1) X C(196,2) X ... X ... X C(2,2) X 100 X 99
: E[XiXj] = --------------------------------------------------------------
: C(200,2) X C(198,2) X ... X C(2,2)
: 100 X 99
: = -----------
: 199 X 197
: 疑問:
: 題目應該是問特定的i個吧? 所以那位高成多乘的那些是要做啥用的?
: 望請版上眾強者們幫小弟解惑!!!
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