推 tareki:感恩大大解答 09/24 00:57
※ 引述《tareki (tareki)》之銘言：
: 大家好
: 關於單位切向量小弟我有一些地方不明白
: 課本上單位切向量有兩條公式
: 單位切向量=dr(t)/dt 還有 dr(s)/ds
: 可是為什麼在後面的題目 r(t)=2cost i + 2sint j + 3t k 求單位切向量的時候
: 解法中有
: 單位切向量=dr(t)/ds=dr(t)/dt * dt/ds
: 為什麼單位切向量可以用dr(t)/ds 呢??
Q1:弧長參數是什麼?
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A1: 設曲線 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k , t為曲線的某種參數 不一定為時間
則弧長s(t) = Sum { [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2 }^0.5 dt
t_0->t
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其中 ||r'(t)|| = { [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2 }^0.5
應用微積分基本定理:s'(t) = ||r'(t)||
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=> ds = ||r'(t)|| dt
_> _> _> _> _>
=> (ds)^2 = ||r'(t)||^2 (dt)^2 = <r'(t)dt,r'(t)dt> = <dr ,dr >
_> _>
=> < dr /ds , dr /ds > = 1 , <_,_>為內積符號
_> _>
=> ||dr /ds|| = 1 , 又 r 對任何一個所屬參數的微分即為切向量
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=> 單位切向量為 t = dr /ds , s為不同於t的另一種參數
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Q2:使用弧長參數有沒有較明顯的好處
A2:你可以試看看用時間參數t和弧長參數s求一次曲率和扭率就可以知道了
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補充
Q3:弧長參數怎麼求
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A3: ds = ||r' (t)|| dt
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=> s = Sum ||r' (t)|| dt
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將s,t的關係帶回r (t) 化為 r (s) 即做完參數變換了
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※ 編輯: BLUEBL00D 來自: 114.44.82.229 (09/20 05:19)