Re: [理工] 工程數學

[endlesschaos (土狼)]

※ 引述《Ifanwei (雞雞)》之銘言：
: 第一題
:       5
: ∫ sec x =?
: 試了各種積分轉換 還是想不到解法 @@

            5
令 I = ∫sec x dx

                      2  2
     = ∫secx (1 + tan x)  dx

                              2                 4
     = ∫secx dx + 2∫secx tan x dx + ∫secx tan x dx

                              2                 3
     = ∫secx dx + 2∫secx(sec x - 1) dx + ∫tan x d(secx)

                         3                           3          3    2
     = ∫secx dx + 2∫sec x dx - 2∫secx dx + secxtan x - 3∫sec xtan x dx

              3           3     2                  3
     = secxtan x - 3 ∫sec x(sec x - 1) dx + 2∫sec x dx - ∫secx dx

              3          3
     = secxtan x + 5∫sec x dx - ∫secx dx - 3I


        1        3     5      3     1
故 I = ---secxtan x + ---∫sec x - ---∫secx dx
        4              4            4



            3
令 J = ∫sec x dx

                     2
     = ∫secx(1 + tan x) dx


     = ∫secx dx + ∫tanx d(secx)

                                   3
     = ∫secx dx + secxtanx - ∫sec x dx


     = ∫secx dx + secxtanx - J

        1             1
=> J = ---secxtanx + ---∫secx dx
        2             2



          1        3     5             3
故原式 = ---secxtan x + ---secxtanx + ---∫secx dx
          4              8             8


          1        3     5             3
       = ---secxtan x + ---secxtanx + ---㏑|secx + tanx| + C
          4              8             8



: 第二題
: 高階非線性的題型
:          2     2
: yy''+(y')  + y  = 0
: 令p=p(y(x))=y', p'=p p' 代入後不知道怎麼解題
:            --        --
: Ans. y=  \/c1 sin[ \/2  (2±x) ]


特殊解法

看到 y、y'、y" 各項相乘的指數次相同

        z
令 y = e

        dy     dy   dz     z
   y'= ---- = ---- ---- = e z' = yz'
        dx     dz   dx


        dy'    d(yz')                      2
   y"= ---- = -------- = y'z' + yz" = y(z')  + yz"
        dx       dx


          2    2   2      2    2    2
故原式： y (z') + y z" + y (z')  + y  = 0


         y = 0 為一解


當 y ≠ 0
            2
=> z" + 2(z') + 1 = 0


令 z' = p

          2
=> p' + 2p  + 1 = 0


     -dp
  ---------- = dx
   2p^2 + 1

         1               1
令 p = -----v  => dp = -----dv
        √2             √2

       1       dv
=> - ----- --------- = dx
      √2   v^2 + 1


      -1
   tan  v = -√2 * x + c1


   v = tan(c1 - √2 * x) = √2 * p


   dz      1
  ---- = -----tan(c1 - √2 * x)
   dx     √2

                     dz     dz   dt         .  .
令 -√2 * x = t  => ---- = ---- ---- = -√2 z (z 表示 z 對 t 微分)
                     dx     dt   dx

        .     1
=> -√2 z = -----tan(t + c1)
             √2

   .      1
   z = - ---tan(t + c1)
          2

        1                             ˍˍˍˍˍˍˍˍˍ
   z = ---㏑[cos(t + c1)] + c2 = ㏑[√cos(c1 - √2 * x) ] + c2
        2

        z                           0.5
故 y = e  = k1 * [cos(k2 - √2 * x)]



: 第三題
: 歛散性? C.C. or A.C.
:  無限    n   cosn
:  Σ  (-1)   ------
: n=1            2
:               n
: Ans.  A.C.
: 歡迎各位討論唷 ^^

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.32.109.39
推 Ifanwei:感謝 我研究一下
→ Ifanwei:看到 y、y'、y" 各項相乘的指數次相同 這段話我看不懂T_T
→ endlesschaos:不同項都是由 y、y'、y" 相乘兩次而來的意思
推 Ifanwei:意思是有這種特徵的要用這種特殊解法?
→ Ifanwei:一定要是相乘兩次?
→ endlesschaos:同樣次數即可　你可以發現做這樣變數變換後他們所乘
→ endlesschaos:的 y 都只有一次  因此最後結果都會變成同次數並可以
→ endlesschaos:一次除掉
推 Ifanwei:非常感謝 我消化一下XD
推 a016258:推
推 goshfju:推用心
推 gnsh:推!
推 lawliet14:太用心了~~推