Re: [理工] 微積分 ∫(x^2)e^(-x^2/2)dx ??

[ejialan (eji)]

※ 引述《kendra (追夢人)》之銘言：
: 請問
: ∫(x^2)e^(-x^2/2)dx
: 這個是不是有特殊算法呢?
: 筆記翻了好久沒翻到
: 謝謝

令 u = x, dv = xe^(-x^2/2) dx

  du = dx, v = -e^(-x^2/2)

原式 = uv - ∫vdu

     = -xe^(-x^2/2) + ∫e^(-x^2/2) dx

令t=x/√2, t^2=x^2/2, dt = dx/√2

∫e^(-x^2/2) dx = ∫√2 e^(-t^2) dt

= √(π/2) * 2/√π * ∫e^(-t^2)dt

= √(π/2) erf(t)

= √(π/2) erf(x/√2)

原式 = -xe^(-x^2/2) + √(π/2) erf(x/√2)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.121.146.175
推 kendra:感謝
推 gnsh:我有個問題耶 請問沒給區間 error function照樣可以用嗎?
不定積分我是看成

∫e^(-t^2)dt = F(t)+c, F(t)為e^(-t^2)的反導函數, c為積分常數

             t
F(t)-F(0) = ∫e^(-τ^2)dτ
             0

這樣就可以套erf的定義， F(0)可以併到我上面漏寫的積分常數裡

不知道這樣的想法是否有誤

※ 編輯: ejialan         來自: 140.121.146.175      (10/29 09:19)
推 gnsh:嗯嗯 沒錯 我腦袋打結了XD 謝拉~