推 yhchen2:高手 我讀電機只看得懂法一 Orz 01/13 22:41
推 leosnake:喔～謝謝ki大精美的講解, 這算是Cayley-Hamilton吧 01/13 22:43
→ yhchen2:前半是C-H沒錯 我只想到一半 後面那個大絕實在沒想到 01/13 22:46
第七題 用硬爆的還比較快 才2x2 = = 5分鐘內可以解出來吧...
第八題 比較難一點 要技巧 其實方法有很多 除了暴力法
我舉兩個我知道的方法
第一個利用特徵值表現定理
你作列運算會發現當rank(H)=2 又因為nullity(H-0I)=n-rank(H)=2
代表H的特徵值有兩個是0 最後假設剩另兩個特徵值為a,b
char(H)=(0-x)(0-x)(a-x)(b-x)=x^4-(a+b)x^3+(ab)x^2
且題目的式子為 H^3-αH^2-βH-γI4=0
(觀察發現代表char(H)除以x下去的式子 也就是最小多項式x(x-a)(x-b))
又tr(H)=所有特徵值相加=0+0+a+b=1+6+11+15=34
整理出來得α=34 γ=0(因為沒有x項) 然而從char(H)式子知道β等於-ab
直接開大絕
|1 2| |1 3| |1 4| |6 7| |6 8| |11 12|
ab=(|5 6| + |9 11| + |13 16| + |10 11| + |14 16| + |15 16|)=-80
得到β=80
至於這個大絕什麼來的 你去看特徵值多項式證明
就會發現其實就是"6個2*2子方陣行列式值全部相加=特徵值兩兩相乘相加"
其實那個子方陣不懂沒關係 那方法是補習班解法 沒看證明很難理解怎來的
下面我會講 我自己理解方法
利用特徵值相乘等於det(H) 因為列運算有零列 所以det(H)=0
又(特徵值相加)^2=(特徵值平方相加)+2*(兩兩特徵值相乘)
且兩兩特徵值相乘因為另兩個特徵值是0 所以只剩ab
又特徵值平方相加tr(H^2)=1316
整理得到當34^2=1156=1316+2ab 得到ab也是-80
這個比較麻煩就是要把H^2硬成開 對角元素硬乘出來就好 其他元素不用管
你要硬背上面那子方陣那方法也可以 但可能會被扣分..
第二個方法 更快
原理就不講了 如果跳過小黃第六章 第八章沒讀熟
那我就沒辦法了
先假設x=[1 1 1 1]^T y=[1 2 3 4]^T z=[0 4 8 12]^T
因此把H拆解成 H=xy^T+zx^T 並令H=AB
其中A=[x z] B=[y^T x^T]^T
因為AB與BA具相同特徵值0 所以先計算BA的特徵多項式
[10 80]
[4 24]
所以可得det(BA-xI)=x^2-34x-80 又BA具兩個非零的特徵值設為a和b
接下來上面推的AB還具有特徵值0且am(0)=gm(0)=2
因此A的最小多項式為 x(x-a)(x-b)
0=H(H-aI)(H-bI)=H^3-34H^2-80H 所以得到H^3=34H^2+80H
答案還是一樣α=34 β=80γ=0
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