→ ILzi:形心計算後座標(π/32,π/32) 01/29 17:41
※ 編輯: ILzi 來自: 125.224.84.221 (01/29 19:13)
※ 引述《XEric0937X (I promise.)》之銘言：
: 想請問高手大大
: 幫小弟解此題
: http://ppt.cc/Tda~
: 感恩 謝謝
說起來好久沒在板上出現了..
3
x = cos t
3
y = sin t
0 ≦ t ≦ π/2
求線段長度公式 s = ∫√[1+(y')^2] dx
2
dy/dt 3sin t cost
sint
y' = dy/dx = ─── = ────── = ─── = -tant
2 -cost
dx/dt -3cos t sint
2
又dx = -3cos t sint dt
π/2 2 2
因此 s = ∫√[1+(y')^2] dx = ∫ √[1+tan t] 3cos t sint dt
0
π/2 2 π/2
= 3∫ sect cos t sint dt = 3∫ sint cost dt
0 0
π/2 |π/2
= 3/2 ∫ sin2t dt = -3/4 cos2t | = 3/4 + 3/4 = 3/2
0 | 0
↑如果要直接用x,y來算的話也有另解，需要的話再說
形心座標 = (∫ydx / x , ∫xdy / y)
本題恰巧 = (面積/1 ,面積/1 ) = (面積,面積)
π/2 3 2 π/2 4 2
面積 = ∫ydx = ∫ sin t 3cos t sint dt = ∫ sin t cos t dt
0 0
π/2 4 6
= ∫ (sin t -sin t)dt
0
π/2 6 5 |π/2 π/2 4 2
利用分部積分法，∫ sin t dt = -sin tcost | + 5∫ sin t cos t dt
0 | 0 0
π/2 4 6 π/2 4
= 5 ∫ (sin t -sin t)dt = 5/6 ∫ sin t dt
0 0
π/2 4 6 π/2 4
所求面積 = ∫ (sin t -sin t)dt = 1/6 ∫ sin t dt
0 0
3 |π/2 π/2 2 2
=1/6 [-sin t cost| + 3∫ sin t cos t dt]
| 0 0
π/2 2 π/2
=1/6[ 0 + 3 ∫ (sin2t /2) dt ] = 1/8 ∫ (1-cos4t)/2 dt
0 0
|π/2
=1/16 (t-sin4t /4)| = 1/16 x π/2 = π/32
| 0
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