Re: [理工] 機率 條件期望值

[lovebnn (兩顆柚子)]

※ 引述《suspect1 ()》之銘言：
: 證明：
:      Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])
:    先求 E[Var(X|Y)]
:              2               2
:       = E[E[X |Y]] -E(E[X|Y])
:             2            2
:       =E[E[X |Y]]-E[E(X|Y)]
:           2           2
:       =E[X ] - E[E(X|Y) ]
:        接下來看不懂
:           2        2         2              2        2
:       =E[X ] - E[X] - E[E(X|Y)] + (E[E[X|Y]])   (E[X] 哪裡來的？)
:       = Var(X) -Var(E[X|Y])
                     2        2
變異數公式 var(X)=E(X )-[E(X)]

            2            2
var(X|Y)=E(X |Y)-[E(X|Y)]

                                     2            2
對上式取期望值，得到 E[var(X|Y)]=E(X) - E{[E(X|Y)] }        ---(a)

                                              2          2
對 E(X|Y) 取變異數 得到 var[E(X|Y)]=E{[E(X|Y)] } - [E(X)]   ---(b)

                                       2         2
(a)+(b): E[var(X|Y)]+var[E(X|Y)] = E(X)  - [E(X)]  = var(X)，證畢。

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推 suspect1:thx