[理工] 線代小問題

[Transfat (Transfat)]

之前寫到105年成大資訊的時候有一個選項說：

If A is symmetric positive definite, then A is nonsingular and A(-1) is also
symmetric positive definite.（A(-1)是A的inverse的意思）

這是True, 他給的解釋是因為：A(-1)是symmetric很明顯。且令lambda 1~ n為A的
eigenvalue, 則A(-1)的eigenvalue為A的eigenvalue的倒數，所以A(-1)所有eigenvalue
也都為正，所以A(-1)也為positive definite.

這邊有就有問題了，A(-1)的所有eigenvalue皆為正不能保證A(-1)是positive definite
吧？我覺得不行，可是我現在想不起有什麼例子，想問有人有更好的解釋嗎？謝謝


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105
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→ Transfat: 或是換一個問法，A的eigenvalue皆為正可以保證A是正定嗎
→ yupog2003: 加上symmetric就可以
→ yupog2003: A是symmetric代表可以正交對角化，x^tAx=x^tP^tDPx
→ yupog2003: =y^tDy，因為A的eigenvalue皆為正，所以D為正定
→ yupog2003: 故y^tDy > 0，因此A就是正定
→ yupog2003: 沒加symmetric印象中就不可以，如果沒加symmetric也可
→ yupog2003: 以的話那這個條件就變成充要條件了，那也不用用那個很
→ yupog2003: 麻煩的方式來判斷正定了，反例的話...我也還沒找到XD
推 aa06697: symmetric是條件 不然書上不會多寫那一行～ 反例如下
→ aa06697: http://i.imgur.com/wwSuilW.jpg
→ Transfat: 了解了，感謝你們