(會計系)
九、設年利率為r＞0，儲戶可提出一年內計息任何次(n)，但均按同一個年利率r來複利計
算。
(1)設年初存入A 元，問：t年後可獲得本利和A 多少？(8%)
0 t
(2)若n→+∞時，本利和會變成無窮大嗎？如不會，它究竟應為多少？(10%)
在此，A 稱為(期初)現值(present value, PV)，A 稱為終值，A / A 為折現因子，
0 t 0 t
此乃連續化的情形。
十、設A表企業經營一年後(期末)之資產總值，ρ表未稅前資產之投資報酬率，b表保留盈
餘中不用為發放於股利之百分比(%)。又設g為資產未來每年之成長率(假定為一常數
＞0)，，1+k表折現因子[意指：期末金額÷(1+k)=期初價值(金額)，k＞0亦為一常數]
Δ
。於是第一期期末投資收益為(1-b)ρA＝：R ---(1)，
0
今設企業可以永續經營下去，且k＞g＞0。試證：該企業在經營一年後(第一期期末)股
票之總值為R / (k-g)。這是把企業未來之全部(估計)收益折算進股票價值中的公式
0
。(12%)
[提示：k、g猶如上面之r，將未來持續之收益，折算成第一年末時之價值，再對時間
變數t從t=0到t=+∞積分之]
※[註：式(1)考卷上寫的我看不太懂，原貌在此：http://0rz.tw/322Ob ]
(地理系)
九、假設地球為一個渾圓之球，其半徑為1，通過南北極之大圓為子午線，通稱為經線，以
通過英國Greenwich天文台之經線為本初子午線(θ=0)，向東向西張開之角度θ代表經
度(理論上用弧度量 -π≦θ≦π)；又以平行於赤道平面之平面截地球得出各小圓，
小圓上各點與球心之連線和赤道(φ=0)平面所構成之仰角或俯角為φ
(-π/2≦φ≦π/2) 稱之為緯度。試將地球上各點以θ、φ表之，亦即將
x^2+y^2+z^2=1 換成球極座標系。(15%)
十、(承上題)試計算東經120度，北緯45度之點，到西經150度，南緯30度之點沿地球表面
之最短距離。(15%)
(文學院各系)
∞ ∞
九、證明無窮級數Σ 1/n發散，而無窮級數Σ 1/(n^2)收斂。(各10%，共20%。)
n=1 n=1
十、欲用規格尺寸造型完全之正多邊形磁磚來來鑲嵌舖滿整個平面，既要能夠伸展至無限
遠處，又須無遺漏任何小塊面積，試證：欲使此希望實現，則正多邊形只可能是正三
角形、正方形、正六邊形三種之一，再也沒有其他的正多邊形有此本領了。(10%)
[提示：注意在角頂處，各角總合須為360度]
(其他各系)
+∞ -x^2 +∞ -x^2 ╴╴
九、證明廣義積分∫ e dx收斂(8%)，且∫ e dx=√π (10%)，並由此推出
-∞ -∞
∞ ╴╴ -(x^2/2)
∫ (1/√2π)e dx=1(4%)。
-∞ 2
十、給了一個數量場U=f(x,y)，點(x,y)屬於D 包含於R ，在此，D 為之定義域。請問：
f f
從點(x,y)發出之各方向，沿哪個方向求導，可以使方向導數取得最大值？(8%)
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◆ From: 61.228.81.123