推 planet1098:這老師想發明剛普拉嗎= = 06/30 23:24
推 daniel90260:他還蠻罩的說... 06/30 23:50
推 kentwelcome:你們的考題 都是用中文寫的喔‧‧ 07/01 02:49
推 kentwelcome:我好像 還沒看過我們微積分教授 寫過中文...||| 07/01 02:56
推 iowaya:同上...我很懷疑他會不會@@ 07/01 10:01
大家來挑戰微積分吧....XDDDD
試題 :
壹、各系學生共同題目（共90%）
一、求星形線 x=a*cos^3(t), y=a*sin^3(t), (常數a＞0, 0≦t≦2π)之弧長。 (10%)
二、求笛卡兒(Descartre)葉形線 x^3+y^3=3axy, (a＞0之常數)所圍出之有限區域面積S
。[提示：引入極座標系] (15%)
三、我國明代萬曆年間(西元1573年)福建人徐心魯訂正、熊台南刊行的<<新刻訂正家傳
秘訣盤珠算法士民利用>>一書(簡稱<<盤珠算法>>)載有截頭正圓錐台(該書稱圓窖，
形體相同，只不過是挖地窖供放榖米而已)之體積V之公式如下(參見圖一)
V= (h/12π)*(L1^2 +L1*L2+L2^2)
[該書π以3代之]。試證此公式。(10%)
[提示：看成旋轉體，用公式求之。但亦可用初等方法證得。]
※[圖一見 http://0rz.tw/e32Po ]
四、(數學的神秘與奇趣)證明曲線 y=f(x)=1/x, (1≦x≦+∞)繞x軸旋轉之體積V為有限，
但其側面積S無限。換言之，將此漏斗豎立起來，添加上底蓋(半徑為1=f(1)之圓盤)
後，可滿載有限體積之油漆，卻無法塗滿漏斗之內表面之全部。奇怪吧！(10%)
五、何謂"基本數列(fundamental sequence)"？(4%)，Cauchy收斂(判定)準則為何？請敘
述之(不用證明)。(5%)
╴╴╴
六、函數 z=f(x,y)=√｜xy｜，請問
(1)f(x,y)在原點O(0,0)處連續嗎？請示明(證明或反證)。(4%)
(2)偏導數f (0,0)，f (0,0)存在嗎？如果存在，請算出其值；如果不存在，請說明
x y
理由。(4%)
(3)f(x,y)在原點O(0,0)處可微(differentialle)嗎？請給出理由。(4%)
(4)f (x,y)，f (x,y)在原點O(0,0)處連續嗎？為什麼？(4%)
x y
七、求 z=f(x,y)=x^4+2y^4-2x^2-12y^2之極大、極小值，並指出其發生處。(10%)
八、在約束條件 x+y+z=0, x^2+y^2+z^2=1下，求W=xyz的最值。(10%)
貳、分系各自作答題目(跨系作答，零分！) (共30%)
※ 註：這部分是第九跟第十題，所以不是我打錯題號XD
(經濟系)
九、設ψ(x)是[a,b]上的一個壓縮映射，即ψ([a,b])包含於[a,b]且存在一個常數k,
(0≦k≦1)使得｜ψ(x)-ψ(y)｜≦k∣x-y∣對於任意x,y屬於[a,b]皆成立。
又設x 屬於[a,b]，並令x =ψ(x )，試證：ψ(x)在[a,b]上存在著唯一的一個不動
0 n+1 n
點(fixed point)，即存在ξ屬於[a,b]使得ψ(ξ)=ξ，且ξ=lim x 。(15%)
n→∞ n
十、設某人對甲、乙兩種消費品各消費x、y單位(x,y＞0)時，其效用曲線
U=U(x,y)=2(x^1/3)(y^2/3)(當U=某一正常數時，它代表一條無異曲線)，然而購買甲
物每單位要1元，購買乙物每單位要2元。現在他手中只有12元，想得到最大的消費滿
足(即：使U達於最大)，問：甲、乙兩種物品他各應買多少單位？(15%)
(財金系)
九、衍生性金融商品(derivative)乃上一世紀最偉大的金融創新，被視為華爾街的第二次
革命，包括期貨(future)、選擇權(option，大陸稱期權)、交換權(swap)等。關於選
擇權的價格V=V(S,t)有下列最著名的Black-Scholes方程：
(dV / dt)-(1/2)(σ^2)(S^2)(d^2V / dS^2)+rS(dV / dS)-rV=0， ----(1)
在此，t代表時間(或時點) 0≦t≦T(T：固定)，S是股價，r是無風險利率(正常數)，
σ是波動率(volatility)(常數)。上式的推得是有一些前提的，如：原生資產價格演
化遵循隨機的幾何Brown運動、不存在套利機會、.....等。試證：對於任何常數 a,b
rt
而言，V=V(S,t)=aS+be 均為(1)式之解。(5%)
十、(承上題)令 x=lnS,τ=T-t (即進行變數變換，這情況特別簡單) 將上面(1)式轉換成
下列形式：
(dV / dτ)-(1/2)(σ^2)(d^2V / dx^2)-[r-(σ^2)/2](dV / dx)+rV=0，----(2)(10%)
今令β=(1/2)-[r/(σ^2)] (可見是一常數)，
再令α=-r+β{r-[(σ^2)/2]}+[(σ^2)/2](β^2) (可見α也是一常數)，
ατ+βx
作函數V=u(x,τ)e ，代入(2)中，證明u=u(x,τ)滿足下列熱傳導方程式：
[d^2u / d^2(x^2)]=[2/(σ^2)](du / dτ)。(15%)
此方程式在課本下冊P.34練習七之第三題提供了一個特殊解。
(企管組、國企系)
九、某工廠經過技術經濟分析，並加以簡化後，問題轉變為欲尋求下列函數
z=f(x ,x )=2x +4x +(1000/x x ), (x ＞0, x ＞0 )之最小值，問：x ,x 應為多少
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
？(15%)
十、某工廠生產某種產品，需要投入甲、乙兩種原料各 x,y單位，假設由以往之資料發現
該產品之產量Q是x,y之如下的一個函數：
1/3 2/3
Q=Q(x,y)=2x y (x＞0,y＞0)
設該廠能源總共有12單位，而每投入原料甲一個單位需消耗一單位能源，每投入原料
乙一個單位需消耗二單位能源。兩者互相獨立。試求在能源許可之範圍內，欲使產量
Q最大時，應如何配置甲、乙兩種原料之投入量？又，此時最大產量為何？(15%)
(會計系)
九、設年利率為r＞0，儲戶可提出一年內計息任何次(n)，但均按同一個年利率r來複利計
算。
(1)設年初存入A 元，問：t年後可獲得本利和A 多少？(8%)
0 t
(2)若n→+∞時，本利和會變成無窮大嗎？如不會，它究竟應為多少？(10%)
在此，A 稱為(期初)現值(present value, PV)，A 稱為終值，A / A 為折現因子，
0 t 0 t
此乃連續化的情形。
十、設A表企業經營一年後(期末)之資產總值，ρ表未稅前資產之投資報酬率，b表保留盈
餘中不用為發放於股利之百分比(%)。又設g為資產未來每年之成長率(假定為一常數
＞0)，，1+k表折現因子[意指：期末金額÷(1+k)=期初價值(金額)，k＞0亦為一常數]
Δ
。於是第一期期末投資收益為(1-b)ρA＝：R ---(1)，
0
今設企業可以永續經營下去，且k＞g＞0。試證：該企業在經營一年後(第一期期末)股
票之總值為R / (k-g)。這是把企業未來之全部(估計)收益折算進股票價值中的公式
0
。(12%)
[提示：k、g猶如上面之r，將未來持續之收益，折算成第一年末時之價值，再對時間
變數t從t=0到t=+∞積分之]
※[註：式(1)考卷上寫的我看不太懂，原貌在此：http://0rz.tw/322Ob ]
(地理系)
九、假設地球為一個渾圓之球，其半徑為1，通過南北極之大圓為子午線，通稱為經線，以
通過英國Greenwich天文台之經線為本初子午線(θ=0)，向東向西張開之角度θ代表經
度(理論上用弧度量 -π≦θ≦π)；又以平行於赤道平面之平面截地球得出各小圓，
小圓上各點與球心之連線和赤道(φ=0)平面所構成之仰角或俯角為φ
(-π/2≦φ≦π/2) 稱之為緯度。試將地球上各點以θ、φ表之，亦即將
x^2+y^2+z^2=1 換成球極座標系。(15%)
十、(承上題)試計算東經120度，北緯45度之點，到西經150度，南緯30度之點沿地球表面
之最短距離。(15%)
(文學院各系)
∞ ∞
九、證明無窮級數Σ 1/n發散，而無窮級數Σ 1/(n^2)收斂。(各10%，共20%。)
n=1 n=1
十、欲用規格尺寸造型完全之正多邊形磁磚來來鑲嵌舖滿整個平面，既要能夠伸展至無限
遠處，又須無遺漏任何小塊面積，試證：欲使此希望實現，則正多邊形只可能是正三
角形、正方形、正六邊形三種之一，再也沒有其他的正多邊形有此本領了。(10%)
[提示：注意在角頂處，各角總合須為360度]
(其他各系)
+∞ -x^2 +∞ -x^2 ╴╴
九、證明廣義積分∫ e dx收斂(8%)，且∫ e dx=√π (10%)，並由此推出
-∞ -∞
∞ ╴╴ -(x^2/2)
∫ (1/√2π)e dx=1(4%)。
-∞ 2
十、給了一個數量場U=f(x,y)，點(x,y)屬於D 包含於R ，在此，D 為之定義域。請問：
f f
從點(x,y)發出之各方向，沿哪個方向求導，可以使方向導數取得最大值？(8%)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.228.81.123
※ 編輯: daniel90260 來自: 61.228.81.123 (06/30 21:06)