推 thecoolbill:推! 寫那麼多 感動 11/16 22:00
推 dolphin11:歐耶歐耶~~大家都把上課內容po上來多芬就可以繼續睡了 11/17 01:26
嗯...今天微積分恰好教到這裡，我就來獻醜一下好了。
首先 先考慮一個指數函數 y=f(x)=a^x a>0 x是實數 這個函數是連續函數。
dy/dx = lim a^(x+h)-a^x = lim a^x(a^h-1) =a^x lim a^h-1
h->0 ------------ h->0 ---------- h->0 -----
h h h
那 lim a^h-1 不就是 lim f(0+h)-f(0)
h->0 ----- h->0 ----------- = f'(0) ?
h h - 0
所以 f'(x) = a^x f'(0)
而f'(0) 的值會跟a 有關 課本上是寫 a=2 f'(0)≒0.69
a=3 f'(0)≒1.10
由於f'(0) 也是一個a的連續函數 所以 根據 中間值定理 可知 在a=2~3之間
存在一個數 使得 f'(0)=1 這個數我們把它叫做 "e"
那麼我們就會得到一個很重要的式子
當a=e 時 dy/dx = d/dx e^x = e^x f'(0)= e^x .....(1)
翻成白話文就是 e^x 對x的導函數 會等於 e^x 自己。
那麼我們再假設 一個函數 u=u(x) 看看 d/dx e^u 是什麼?
根據 連鎖律 d/dx e^u = du/dx d/du e^u = u'(x) e^u .....(2)
現在 我們再來考慮 y=e^x 的反函數 兩邊同取log 以e為底 可以得到
ln y = x (其中ln表示以e為底數的對數)
最後一個很重要的問題是： d/dy ln y =?
我們知道指數跟對數可以互消 也就是 10^logx = x
那麼同樣地可以寫出 y= e^ln y 兩邊同時對y作微分
得到 1 = d/dy e^ln y = e^lny d/dy ln y (根據第2式) = y d/dy ln y
所以
d/dy ln y = 1/y ...(3)
兩邊同乘 dy d ln y = 1/y dy 對兩邊同時積分 就可以得到我們要的結果
∫1/y dy =ln y + C (不定積分的表示式)
如果你看不慣 y 那麼把y換成x 也ok
∫1/x dx = ln x + C
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