最近有人問,又剛好解出來,所以獻醜了
[已知]一個任意圓，圓內一任意點P
過P作任意四弦，此四弦的交角為45度（八個角）
八塊由弦和圓周圍成的區域（類似扇形）依序為a,b,c,d,e,f,g,h
[求證]a+c+e+g=b+d+f+h（面積）
[證明]假設四弦在圓周上焦點依序為A1,A2,...,A8,
不失一般性,假設 P 在 PA1A8 內,則
PA1A2 = OA1A2 + OPA2 - OPA1
PA3A4 = OA3A4 + OPA4 - OPA3
PA5A6 = OA5A6 + OPA5 - OPA6
PA7A8 = OA7A8 + OPA7 - OPA8
令 A1A5 , A3A7 中點分別為 M , N ,則
OPA1 - OPA5 = 2 * OPM = OMPN
OPA7 - OPA3 = 2 * OPN = OMPN
故 OPA1 + OPA3 = OPA5 + OPA7
同理 OPA2 + OPA4 = OPA6 + OPA8
因此 PA1A2 + PA3A4 + PA5A6 + PA7A8
= OA1A2 + OA3A4 + OA5A6 + OA7A8
= 圓面積 / 2
同理 PA2A3 + PA4A5 + PA6A7 + PA8A1 = 圓面積 / 2 , 證畢 #
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