Re: [問題] 兩個變數的不等式

[hiei81 (寶貝。永遠)]

※ 引述《darkseer (進入無限期公假)》之銘言：
: ※ 引述《hiei81 (寶貝。永遠)》之銘言：
: : 交差相乘
: : 原式<=> (1+a+a^2+a^3)(1+b+b^2+b^3) <= (1+(ab)^(3/2))(2+a+b+a^2+b^2+a^3+b^3)
: : Let a=c^2, b=d^2 注意1+(ab)^(3/2)=1+(cd)^3 >= (1+(cd)+(cd)^2+(cd)^3)/2
: : 故現證(1+c^2+c^4+c^6)(1+d^2+d^4+d^6) <=
: :                              c^2+d^2 c^4+d^4 c^6+d^6
: :       (1+cd+(cd)^2+(cd)^3)(1+-------+-------+-------)
: :                                 2       2       2
: : 之後分項解決即可
: : c^2k*d^2k <= (cd)^k*(c^2k+d^2k)/2   (因c^k*d^k <= (c^2k+d^2k)/2)
: : c^2k*d^2m+c^2m*d^2k <= (cd)^k*(c^2m+d^2m)/2 + (cd)^m*(c^2k+d^2k)/2
: 這一步在k=0 or m=0時會怪怪的

mm，好像反過來了

: : 這個證法可以推廣到3為任意正整數
: 不知道我有沒有搞錯, 但是在用1+(cd)^3>=(1+cd+(cd)^2+(cd)^3)/2 時
: 就等於把原題變成
:      1             1                      2
: ----------- + ----------- >= --------------------------
: 1+a+a^2+a^3   1+b+b^2+b^3    1+(ab)^(1/2)+ab+(ab)^(3/2)
: 等價於要去證說
:               1
: f(x)=------------------- 是concave up, 但這不可能成立, 因
:      1+e^x+e^(2x)+e^(3x)

f(x)的二階導數不會恆正嗎?

: f(x) is strictly decreasing and
:      lim      f(x) = 1
: (x-> -infinty)

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總在最平凡的面孔中，

      發現最不平凡的人物...

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◆ From: 140.112.18.71
推 darkseer:若f''(x)恆正且f(x)is trictly decreasing
→ darkseer:則應有f(x)(x -> -infinity)=infinty 矛盾
→ darkseer:不過其實有點麻煩的算一下就可以知道@@