Re: [問題] 兩個變數的不等式

[Dawsen (好友名單不見了啦...)]

ab>1的時候
設A=a^3,B=b^3,K^2=AB
有
2*左式>=(1+A)^-1+(1+B)^-1
圓不等式等價于(1+A)^-1+(1+B)^-1>=2*(1+K)^-1
<=>(KK-1)/(1+A)+(KK-1)/(1+B)>=2(K-1)
<=>(KK-1+1+A)/(1+A)+(KK-1+1+B)/(1+B)>=2K
<=>A(1+B)/(1+A)+B(1+A)/(1+B)>=2K
此為算幾不等式
※ 引述《darkseer (進入無限期公假)》之銘言：
: Source:Mathlink
: Let a,b be arbitrary positive reals. Show that
:      1             1               1
: ----------- + ----------- >= ------------
: 1+a+a^2+a^3   1+b+b^2+b^3    1+(ab)^(3/2)
: How can an inequality with only two variables be so hard?
: It costs me more than two hours...

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◆ From: 218.167.202.175
→ Dawsen:我發現ab>=1很簡單,<1很難...
推 darkseer:其實在ab>=1時之前提的那個函數是凹的
→ darkseer:所以就可以證之前學長那個不等式
推 darkseer:啊講錯了@@ 是在[0,infinity)是凹的..
→ darkseer:不過那個不等式一樣是可以證