※ 引述《TassTW (Highbrow-to-be)》之銘言：
: k為正整數
: k 2k-1 i-2 2k-i-1 2k-2
: Σ C i-1 ×(i) ×(2k-i+1) = (2k+1)
: i= 1
* i=1,2時，僅1個標號樹，又1^(-1)=2^0=1，故邊界值無誤
由(*), k點標號樹共有k^(k-2)個對任何自然數k均成立
左右同乘(2k)(2k+1)，略加整理，得：
k 2k+1 i-2 2k-i-1 2k-1
Σ C i * i(i) * (2k-i+1)(2k-i+1) = 2k * (2k+1)
i=1 ^ ^^^^^^^^
(#) ($)
右式為，(2k+1)點標號樹(註：有2k條邊)任選一邊著上紅色
(拿掉此紅邊會形成兩棵子樹)
左式為，i點標號樹選一點(#)和2k-i+1點標號樹選一點($)以紅色邊結合
注意i點標號樹標號由1到i，2k-i+i點標號樹標號由1到2k-i+i
結合後之新標號樹標號由1到2k+1
等價於由2k+1個標號中選i個做為第一個標號樹的號碼，剩下做為第二個
(選出的i個標號由小到大對應至1,2,...,i)
此即左式中組合數C(2k+1,i)的由來，證畢
這樣夠不夠簡單呢?:)
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人，總是殘缺而完美的...
殘缺的是任誰終其一生都無法得到一切，
完美的是任誰少了一點就不再是他本人了...
殘缺的我尋尋覓覓找尋著殘缺的你...
且讓我們共同拼出一片無間的
完 美
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