Re: [問題] IMO 2010 in Kazakhstan Day 1

[Dawsen (好友名單不見了啦...)]

Share一下我第三題的解法

看看是不是應該放在第一題

3. 試求所有函數g:N→N使得對於所有正整數m,n
           (g(m)+n)(m+g(n))都是完全平方數

推 Dawsen:第三題如果擺在第一題的話可能會有更多人解出來XD
推 LimSinE:有這麼簡單嗎...
→ LimSinE:我的意思，有看起來像第一題程度的解法？
推 Dawsen:結果似乎是假解法...還差"1分" XD
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我的idea是利用數歸證明g(m+1)=g(m)+1

在證明的過程之中，會發現只能證明|g(m+1)-g(m)|=1

但是這不難調整，若有某些g(m+1)=g(m)-1就imply有些g(m)=g(n)而m!=n。

因此可把這題分成兩個部份

part a. |g(m+1)-g(m)|=1

part b. g(m) = g (n) => m=n

proof:

part a.

g(m+1)-g(m)=0的情形在part b中，所以只需要考慮 |g(m+1)-g(m)|>0

假設 |g(m+1)-g(m)|=a*b^2,其中a不含平方因式

可以找到一個形如a*b^2*(ak)^2的數 使之>max{g(m),g(m+1)}

取n使{g(m+1)+n,g(m)+n}={a*b^2*(ak)^2,a*b^2*[(ak)^2+1]}

這樣的話可以知道a|g(n)+m且a|g(n)+m+1，故a=1。

故可知|g(m+1)-g(m)|=[a*b^2]^2^l for some l>0

可找到一個形如ak^2的數，使(a,k)=1且ak^2>max{g(m),g(m+1)}

取n使{g(m+1)+n,g(m)+n}={a*k^2,a*k^2+[a*b^2]^2^l}

這樣的話可以知道a|g(n)+m且a|g(n)+m+1，故a=1。

這樣就證明了|g(m+1)-g(m)|=1

part b. if g(m) = g(n), 選一個p使的p>max{g(m),m,n}

令k=p-g(m) 則 p|g(k)+m, p|g(k)+n 故 p|m-n, 與p>max{m,n}矛盾

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※ 編輯: Dawsen          來自: 18.95.5.208          (07/26 09:02)