問題五：試確定所有滿足下列2條件的函數f:R→R ，其中R是所有實數所形成的集合：
（1）存在實數M，使得對於任意實數x，均有f(x)<M。
（2）對於所有的實數x與y，均有f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)。
f=0是解，以下找其餘的解
1.
y=1： f(xf(1))=xf(1) 有上界→f(1)=0，故f(0)=0
2.
x=1： f(f(y))=2f(y) 2f(R)<f(R)，有上界→ f<=0
3.
x=y, y=x： f(yf(x))+xf(y)=yf(x)+f(xy)
和原式相加得 f(xf(y))+f(yf(x))=2f(xy)
→「若f(xy)=0，則 f(xf(y))=0，再代回得 xf(y)=yf(x)」
4.
Claim: 若 f(z)=0，則z>=0
反證法
設z<0，則對所有xy=z, x>0, y<0，0 >= xf(y)=yf(x)>=0，故f(x)=f(y)=0
這些x,y分別跑遍所有正數和負數，得f=0，矛盾
5.
Claim: 若z>0，則 f(z)=0
取x=1/z>0, y=z>0，則0=f(1)=f(xy)，由3.，f(xf(y))=0，由4.，xf(y)>=0，故f(y)=0
6.
x=-1,y>0：記f(-1)=a，則 ya = f(-y)
利用2. 可確定a=0,-2 (a=0→f=0矛盾)
故另一解為
f(x)= 0, if x>=0
=2x, if x<0
驗算合。
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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