Re: [問題] 找垂直向量

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《snaredrum (好聽木琴)》之銘言：
: 有個問題 我手算不了，想用MATLAB幫忙 請各為大大指教
: 我想找七個21維向量 u1,u2,...,u7
: 有底下性質
: 1)  <u_i,u_j> = 0 if i不等j (兩兩垂直的意思)
: 2)  向量長度為1
: 3)  這七個向量，每個向量的21個 digits 加起來=3
: 請問如何寫出這七個向量呢?
: 感恩~~
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    令   U = [u1, u2, u3, ...]     為 21 by 7 matrix

         e_n = [1, 1, ..., 1]^T    為 n by 1 all one vector


    by (1)&(2) ,  (U')U = I_7       ____ <a>      (I_7:  7x7 identity mat.)

    by (3),   (e_21')U = 3(e_7')    ____ <b>



                                   ┌  I_7     3(e_7) ┐
    combine <a><b>, 可得   (M')M = │                 │ := f(M)
                                   └ 3(e_7')    21   ┘


                    其中  M = [U | e_21]  is a 21 by 8 matrix


=====


     根據上述結論，你可以這樣子做:


  <1>
       SVD or cholesky 分解  f(M) 得到  (A')A,   其中 A: 8x8 matrix


  <2>
       考慮一 13x8 矩陣 B,  使得  (B')B = [0]


       這時  f(M) 可改寫成

           = (A')A + (B')B

           = (N')N  ,   其中  N = [A' | B']'  為 21 by 8 matrix


  <3>
      考慮一 21x21 orthogonal matrix Q,  使得  M = QN

      (  since  f(M) = (N')N = (N')(Q')QN = (QN)'(QN) = (M')M   )



      更進一步，若  N_n :=  n-th column

      則找出 Q, 使得   Q(N_n) = e_21



      一旦有了 Q 跟 N,  你就能得知 M, 也就等於知道了 U




    Note:
          A / B / Q   三個 matrix 都不 unique

          自然有無窮多組解

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 175.98.124.34
→ doom8199:抱歉，<2> 的 B 可能要再細分成 [B1 | B2], 不能直接
→ doom8199:相乘等於 0矩陣
→ doom8199:結論就是要湊出 M'M 的 format, 流程大同小異
推 YoursEver:cholesky的前提是positive definite, 但f(M)不是.
→ YoursEver:所以在這個例子中f(M)無法寫成 A'A
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    感謝，我沒有真的去算它的 eigenvalue

    事實上只要是 positive semi-definite  就能做分解

      (matlab 會 display 正定 的 constrain 應該是打錯了)




    我手算了一下， f(M) 要能分解成  (M')M

    除非是   u_i 的維度  >= 63

    不然必不存在  U in |R^(dim,7)  , 滿足 constrain (1)~(3)
※ 編輯: doom8199        來自: 175.98.124.34        (07/17 13:10)
推 YoursEver:>=63相當於是給夠多的0,把之前說的特解排成一組basis了.

    可以列出來嗎?  我不覺得 (1/3,...1/3,0,...0) 的組合可以滿足 case (1)


                 ┌   I_7   3(e_7) ┐
    令  g(M,k) = │                │
                 └ 3(e_7')    k   ┘

    真的去計算它的 eigenvalue

    會滿足  (1-λ)^6 * [λ^2 - (1+k)λ + k-63] = 0

    若要求  g  是半正定, 唯有當  (1+k) >= 0   &&  (k-63) >=0

    亦即  k >= 63
※ 編輯: doom8199        來自: 175.98.124.34        (07/18 09:50)
推 YoursEver:vector_1: 1~9 entry 為 1/3, 其餘為0
→ YoursEver:vector_2: 10~18 entry 為 1/3, 其餘為0
→ YoursEver:其他類推,當然同時滿足原po的條件.
→ YoursEver:當n>=63時,滿足這條件七個向量,就會有不只一組解.
推 YoursEver:所以我之前才會說(以原本n=21來看),夠成一組frame沒問題
→ YoursEver:但能不能構成一組basis,就要打問號.
→ doom8199:那 vector_3, vector_4 要怎麼挑呢?
→ doom8199:剛看了一下推文，你這樣的組法只有滿足 <2><3>
→ doom8199:<1> 根本不可能會成立，就簡單的反證法就可以說明了
→ doom8199:文中我也證明過了，dim>62 才會有解
→ doom8199:而且必然是無窮多組解，用 SVD 可以說明一切
→ YoursEver:vector_3 = 19~29 entry為1/3, 其餘為0
→ YoursEver:vector_7: 55~63 entry 為1/3, 其餘為0
→ YoursEver:vector_3: 19~27 entry為1/3, 其餘為0
→ YoursEver:所以我之前才說,一定能找到一組frame,但是否能構成basis
→ YoursEver:是另外一回事.
→ doom8199:抱歉，我以為你那個推文是在說 dim=21 的case
推 snaredrum:謝謝d大的詳細解說~