作者YoursEver (銀英傳出webgame!?)
看板MATLAB
標題Re: [問題] 找垂直向量
時間Sat Jul 20 08:18:38 2013
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: <2>
: 考慮一 13x8 矩陣 B, 使得 (B')B = [0]
: 這時 f(M) 可改寫成
: = (A')A + (B')B
: = (N')N , 其中 N = [A' | B']' 為 21 by 8 matrix
:
這部份我覺得怪怪的.
B'B = 0;
換言之
[ b_1'] [ ]
[ b_2'] * [ b_1, b_2, ..., b_m ] = [0], 其中 b_i是B的column vector
[ : ] [ ]
[ b_m'] [ ]
這個假設的問題在於 |b_i|=0,
因此b_i必然是零向量; B也必然是零矩陣.
(我沒有仔細檢查後面,
但這句話看起來不是"考慮一13x8矩陣B, such that..."的問題了,
因為這條件下,沒得考慮...,只有零矩陣才滿足需求.)
:=========================
:
: ┌ I_7 3(e_7) ┐
: 令 g(M,k) = │ │
: └ 3(e_7') k ┘
: 真的去計算它的 eigenvalue
: 會滿足 (1-λ)^6 * [λ^2 - (1+k)λ + k-63] = 0
: 若要求 g 是半正定, 唯有當 (1+k) >= 0 && (k-63) >=0
要考量這個問題,
我們應該要從"什麼條件下有解來看",
doom的結論是: 至少得是63維的向量,才能找到滿足條件的一組解.
我覺得,有另外一個考慮方向,
去考慮:"該hyperplane應該距離原點有多近,
和unit ball的交點才足夠複雜到能產生滿足條件的一組解?"
也就是給定法向量n時,
平面 <x, n> = d 的d應該有多小?
所以相當於是把 g(M,k) 做一些代換,
3 用d代替, k用d*m代替; m則代表向量維度
這時候就能求出d的有效範圍.
因為在"印象"中,
若hyperplane和unit ball交得太淺,則原po的問題似乎會無解.
doom老大寫下的東西,會是個很好的思考方向.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.27.127
推 doom8199:<1> 當初打太快，後來有在推文敘述 B的取法不行, 07/21 12:48
→ doom8199: 要改用 [B1|B2] 型態來取，但因為要解聯立有點複雜 07/21 12:49
→ doom8199: 要打的東西有點多，後來就沒修正了 07/21 12:50
→ doom8199:<2> 我算了一下，若 entry 總和 = d, 維度 = dim 07/21 12:52
→ doom8199: 則 dim >= 7*d^2 才有解 07/21 12:52
→ snaredrum:竊以為只要不是相切，應該就有解吧..我以三維來想~ 07/22 11:16
→ snaredrum:平面跟單位球的交集 如果不是相切(剛好依點) 07/22 11:17
→ snaredrum:那應該都是個等價二維平面上的圓的集合~ 07/22 11:17
改錯字...
※ 編輯: YoursEver 來自: 140.114.27.127 (07/22 11:43)
推 doom8199:我覺得你還是得真的算過一次，高維度的東西，性質 07/22 13:06
→ doom8199:蠻容易違背我們在低維度下的認知 07/22 13:06
→ doom8199:要證明它，只要能確保所有的 eigenvalue >= 0 即可 07/22 13:09
→ doom8199:根據解 eig 過程，列出一階遞迴式，搭配上述 constrain 07/22 13:11
→ doom8199:就能得到 dim >= 7*d^2 07/22 13:11