Re: [問題] 請教2題極限的證明

[plover (Invariant Measures)]

※ 引述《WMX (在家當米蟲)》之銘言：
: 1.
: An=(-1)^n
: {-1,1,-1,1,-1,1,-1,1....}
: 試證：以上數列不收斂。

這邊把 數列極限的定義 寫在下面: (底下指的數列都是指無窮數列).

        對於任意的實數 ε > 0, 如果有一個自然數 N, N 可能是 ε 的函數,
   P → 讓所有的 n ≧(或 >) N, 都能滿足 | a_n - A | < ε,
   Q → 我們就說 {a_n} 有極限 A (或者說 {a_n} 收斂到 A).
        簡記成  lim  a_n = A 或 a_n -> A as n -> +oo.
               n->+oo

這邊要注意的是: 定義是一個充要條件. 即 P <=> Q.
如果說沒有一個實數 A 滿足上面的定義, 我們就說 {a_n} 沒有極限 (或說發散).

有時候我們需要說明: {a_n} 沒有收斂到 0 (為了簡化討論, 所以讓 A = 0),
為了正確得到 P 的正確逆命題, 我們可以用底下的步驟慢慢表達:

(1) 存在一個 ε_0 > 0, 使得具有 P 中的自然數 N 找不到.
(2) 存在一個 ε_0 > 0, 使得對任意的 N, 不能夠對所有的 n, 當 n > N 時,
    能夠滿足 | a_n | < ε_0.
(3) 存在一個 ε_0 > 0, 使得對任意的 N, 有 n' > N, 使得 | a_n' | ≧ ε_0.
這個才是正確的逆命題. 底下是 (3) 的等價敘述 (請自己去證明吧):
(3)' 存在一個 ε_0 > 0 及一個自然數子數列 {n_k}, n_k 遞增到 +oo, 使得
     | a_n_k | ≧ ε_0.

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看完上面的東西，對我底下的做法，沒有理由說不懂吧 /_\

假設 {a_n} -> A. 現在我們分兩種情況。（上面你有點寫錯，a_n 第一項是 -1)
(Case-1): A = 1.
    我們在上面的說明 (3)' 中取 ε_0 = 1 > 0, n_k = 2k-1, 也就是取
    奇數項。那麼對任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-1 | = |-1-1| = 2
    ≧ 1 = ε_0.

(Case-2) A≠1.
    我們在上面的說明 (3)' 中取 ε_0 = |A-1|/2 > 0, n_k = 2k, 也就是取
    偶數項。那麼對任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-A | = |1-A| >
    1/2|1-A| = ε_0.

所以 {a_n} 不收斂 :pp

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或者用底下的 Theorem:

(Thm): 數列有極限 A <=> 任一子數列也有極限 A

證明: (必要性)
對於任意的實數 ε > 0, 如果有一個自然數 N, N 可能是 ε 的函數,
讓所有的 n > N, 都能滿足 | a_n - A | < ε.
對任意的 {a_n_k}, 當 n_k > N 時, 由上式我們有 | a_n_k - A | < ε. 證完!
(充分性)
用反證法. 若 {a_n} 不以 A 為極限值, 則存在一個 ε_0 > 0 及一個自然數子數列
{n_k}, n_k 遞增到 +oo, 使得 | a_n_k | ≧ ε_0. 矛盾!

我們發現 {1,1,...} -> 1 和 {-1,-1,...} -> -1 都是 {a_n} 的子數列,
但 1≠-1, 所以 {a_n} 不收斂.

: 　
: 2.
: If lim An & lim Bn exist ,then
: lim(AnBn) = (lim An)(lim Bn)
: n->∞        n->∞   n->∞
: 試證之。
: 謝謝各位大大～

免費贈送其他三個的證明 :pp

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(極限運算): 如果數列 {a_n} 收斂到 A, 數列 {b_n} 收斂到 B. (A, B 為實數),
則我們有:  lim  (a_n + b_n) = A + B.
          n->oo
           lim  (a_n - b_n) = A - B.
          n->oo
           lim  (a_n * b_n) = A * B.
          n->oo
           lim  (a_n / b_n) = A / B, 這邊假設 B ≠ 0.
          n->oo
證明:

(先證 lim (a_n + b_n) = A + B)
對任意的 ε/2 > 0, 存在自然數 N_1, 使得對所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < ε/2
對任意的 ε/2 > 0, 存在自然數 N_2, 使得對所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < ε/2
如果我們取 N = max{N_1,N_2}, 則顯然有 ε > 0, 存在自然數 N, 使得對每個 n > N,
都有 | a_n - A | < ε, | b_n - B | < ε.

因此 | (a_n+b_n) - (A+B) | = | (a_n-A) + (b_n-B) | ≦ | a_n-A | + | b_n-B |
                           < ε/2 + ε/2 = ε.

 lim (a_n - b_n) = A - B 證明類似, 請自己練習吧.
n->oo

(接著證明 lim (a_n * b_n) = A * B)
對任意的 √ε > 0, 存在自然數 N_1, 使得對所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < √ε
對任意的 √ε > 0, 存在自然數 N_2, 使得對所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < √ε
我們取 N = max{N_1,N_2}. 這樣每個 n > N, 我們有 | (a_n-A)(b_n-B) | < ε.
又 a_n * b_n - A * B  =  (a_n - A)(b_n - B) + A(b_n - B) + B(a_n - A).
用 lim (a_n+b_n) = A + B 和 lim (c a_n) = cA. 所以 lim (a_n b_n - AB) = 0.

(最後證明 lim (a_n / b_n) = A / B 如果 B≠0).
我們先證 lim (1/b_n) = 1/B, 再用上面的結果吧 :)
選一個自然數 m 使得 | b_n - B | < | B |/2. 如果 n > m 的時候, 我們可以看到
| b_n | > | B |/2.
                                                                     |B|^2 ε
對任意的 ε > 0, 存在自然數 N > m 使得當 n > N 時, 我們有 |b_n-B| < ----------
                                                                        2
                                            b_n-B         2
因此, 當 n > N 的時候, | 1/b_n - 1/B | = | ------- | < -------|b_n-B| < ε.
                                            b_n B       |B|^2

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