Re: 一題積分請大家幫忙

[phs (等待.............)]

※ 引述《Gerioty (.......................)》之銘言：
:    ∞   Cosx
:  ∫   -------dx
:    0   1+x^2

    很久以前學過 , 我試看看。
                          e^iz
   [解] 考慮積分I = ∫ ------------  dz  , 積分路徑 c表一個以原點為圓心,
                     c   1 +  z^2          半徑為R的上半圓contour(圍線)。

        奇異點(pole的位置)在  1 + z^2 = 0  => z = i , -i
        因為是考慮上半圓區域, 故 pole的位置只有 z = i 且為一階奇點。
        由留數定理知 : I = 2πi Resf(z)
        其中           e^iz
            f(z) = ------------
                      1 + z^2
                                           e^(-1)
           Resf(z) = lim   ( z-i )f(z) =  ------   => I = πe^(-1)
                    z -> i                  2i

        接下來，真正去計算線積分I之值。

        I = ∫ f(z) dz         , c(R) = 上半圓圍線(逆時針方向,不包含直徑)
            c=c(R) + c(x)        c(x) = 上半圓的直徑路線( 由左x=-R 到右 x=+R )
                           e^iz
        (a). I(R) = ∫  --------- dz  , 可設 z = R e^iθ
                   c(R)   1 + z^2       =>  dz = iRe^iθdθ
                     π    e^(iRcosθ- Rsinθ)
                  = ∫  ---------------------  iRe^iθdθ
                     0       1 + R^2 e^2iθ

                       π     e^(iRcosθ- Rsinθ)
             |I(R)|=< ∫| ----------------------- iRe^iθ|dθ
                       0        1 + R^2 e^2iθ
                        π   e^(-Rsinθ)
                   =<  ∫ |---------------| R dθ
                        0     R^2 e^2iθ

                      π  e^(-Rsinθ)          π/2 e^(-Rsinθ)
                   = ∫ ------------- dθ = 2 ∫    ----------  dθ
                      0      R                 0        R

            因為 θ在 [ 0,π/2 ]區間時 , sinθ >= (2/π)θ
                         π/2   e^(-2R/π)θ
            |I(R)| =< 2 ∫   --------------- dθ
                         0          R
                                               R -> ∞
                   = (π/R^2) [ 1 - e^(-R) ]  --------> 0

            => I(R) -> 0
                     R     e^ix          R  cosx + isinx
       (b). I(x) = ∫   ---------- dx = ∫ -------------- dx
                    -R   1 +  x^2       -R     1 + x^2
                    R    cosx
                 = ∫ ---------- dx ( 因為 sinx 為奇函, 積分為 0 )밬
                   -R   1 + x^2

            當 R -> ∞ 時 ,
                    ∞   cosx             ∞  cosx
            I(x) = ∫ ---------- dx  = 2 ∫ -------- dx밬
                   -∞  1 + x^2           0  1 + x^2

       由以上總結：

            I = I(R) + I(x)
                             ∞  cosx
        => πe^(-1) = 0 + 2 ∫ -------- dx
                             0  1 + x^2
            ∞  cosx           π
        => ∫ -------- dx  =  ---e^(-1)             Q.E.D
            0  1 + x^2         2


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