劉克峰: 知識，技巧與想像力
輸入日期：2005-2-6 閱讀次數：2983
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知識，技巧與想像力
劉克峰
原文Knowledge,Technique and Imagination是我在2004年首屆西湖青年數學家
論壇上的演講，現在的中文版由徐浩增加整理。
在國內工作一年多，接觸了許多中學生，大學生和研究生。為了吸引優秀的學生到數學中
來，我與他們進行了許多的對話與交流，這引發了我對數學教育從各方面的思考。迄今已
有許多文章對我們的教育體制提出批評，認為它扼殺了學生們的想像力。但我覺得我們的
教育從中學起就過分強調技巧，根本沒有開拓學生的知識面才是根本的弊病。見多才能識
廣，而沒有寬廣的知識面，想像力就是無源之水。在中學裡，以奧數為甚的題海戰術使學
生忘記了做題的目的是為了理解知識，只是機械地為做題而做題，不是為個人的喜歡與好奇
心。在大學裡，有些老師的知識就過於陳舊和狹窄，更不可能拓寬學生的知識面了。許多
學生也以能做上萬道習題為榮，或者早早就把自己限制在某個狹隘的研究方向。這樣的教
育只能培養給別人打工的工匠，不可能培養出真正的科學家。我覺得對數學專業的學生而
言，要首先拓寬眼界，不僅在數學裡的各個學科之間，更包括物理等相關學科，然後在盡
可能的融會貫通，激發出想像力。種種感想促成了這篇文章，希望我自身的經歷與體會能
起到拋磚引玉的作用。
我將結合自己的治學經驗討論一下知識的重要性以及知識，技巧與想像力的關係。從
我讀研究生開始，我的工作就一直圍繞著物理學中出現的幾何與拓撲問題。物理學家需要
數學作為工具，反過來他們又借助物理理論提出數學上的猜想，雖然物理學家的推導很多
時候是不嚴格的，但是這些猜想往往最後都被證明是正確的。這是非常令人感到驚奇的！
為了解決物理學家提出的數學猜想，我們發展了全新的數學理論，發現了不同數學分支之
間意想不到的聯繫。這些數學上的革命又為物理學的繼續發展提供了嚴格的理論基石。數
學和物理學的相互交織造就了科學史上的多次革命，大家熟知的有「微積分與牛頓力學定
律」，「廣義相對論與黎曼幾何」，近年來的大小例子更是層出不窮，「量子場論與指標
理論結合得到橢圓虧格剛性定理」，「共形場論給出的模空間Verlinde公式」，
「Yang-Mills場與4維拓撲」，「陳-Simons理論與3維拓撲，紐結理論」，
「關於弦理論中鏡像對稱與Calabi-丘空間的鏡公式」，「關於陳-Simons理論，
Calabi-丘空間與Gromov-Witten不變量的Marino-Vafa猜想」，
「弦理論與Ricci流，3維拓撲的關係」，「鏡像對稱與數論的關係」等等。
近20年數學菲爾茲獎得主的獲獎工作，有一半與量子場論，弦理論有關。無論你研究哪一
個方向，總會在弦理論中找到用武之地。而弦論學家們也貪婪和迫不及待地注視著數學中
每一點一滴的新進展，迅速地理解並應用到他們的理論中去。這種交流激發了數學與物理
學無盡的活力。這也使得我們有理由猜測：上帝根據數學公式創造了世界？但毫無疑問，
數學是開啟大自然的鑰匙。
要指出的是物理學家對數學的貢獻不僅僅限於預測數學結論，很多時候，他們也用嚴
格的數學語言為我們指出數學上重要的研究對象。Witten和Vafa是兩位傑出的代表，他們
的數學甚至要好過絕大部分數學家。有人形容他們就像從未來時空穿梭回來的一樣，只記
住了未來數學支離破碎的景象，憑著記憶敘述出來，成了挑戰當代數學家的猜測。物理學
家學習數學的方式也許值得我們借鑒，Witten他們大概從來不做數學習題，但卻用最快的
速度學到他們所需要的數學。哈佛大學數學教授Taubes 曾說，「物理學家先學指標理論
，然後才是黎曼幾何」。我覺得我們數學家不僅要時刻留意物理學的發展，更要注意物理
學家掌握知識的技巧，那就是在研究中學習，在學習中研究。
物理學家特別青睞「無窮」，甚至有時候不惜以犧牲「嚴格性」作為代價，比如
SL(2,Z)對稱，大N極限的陳-Simons理論，路徑積分。雖然Feynman的路徑積分還缺少嚴格
的數學基礎，該理論因其物理上的直觀性和便於形式演算在現代量子物理中產生了深遠的
影響。正所謂「妙在無窮，美即有用」。這種不嚴格也給了他們無窮的想像空間。
那麼我們應該如何學習數學呢？
我去美國留學時，隨身只帶了兩本書，一本是丘成桐與Schoen著的「微分幾何」，
一本是Gilbarg與Trudinger的「二階橢圓偏微分方程」。我想在分析與幾何裡大展身手，
就不需要學習別的了。1988年9月底，我走進丘成桐先生的辦公室，開始了我在哈佛的
學習生活。他問我，想開始做研究還是繼續學更多的數學。我回答想開始做研究。可是丘
先生對我說，「你要盡可能多的學習數學，因為畢業以後要想學什麼新東西都不容易了。
」他讓我學習代數幾何，代數數論，幾何分析…有許多內容直到今天我仍然無法完全理解
。但這卻深刻影響了我的學術生涯和人生軌跡。在當上教授後，繁重的教學和科研壓力讓
我體會到丘先生的話是多麼的語重心長。
知識與技巧，到底哪一個更加重要呢？我的觀點是，對年輕人而言，知識更重要！
知識讓我們站得更高，看到正確的方向，因為方向錯了，一切努力都不會有結果。
但是也要承認，研究中關鍵的突破往往來自於技巧上的創新。做個比喻，一個武林高手，
學了很多門派的武功，但是內功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在眾多數學領域
都有開創性工作，得益於他極強的分析功底及廣博的知識面。現在國內熱衷的中學生數學
競賽，就太過於強調技巧。其實我們的學生從中學開始就應該接受多方面知識的熏陶，讓
孩子多看名人傳記，培養對科學的好奇心。我最近讀的牛頓傳記就寫的非常精彩。正是由
於好奇心，牛頓大學二年級給自己提出了幾十個有關大自然的問題，為了解決它們，他發
展了微積分作為基礎，進而發展了四大物理定律。
下面我將聯繫自己的經歷討論擁有寬廣知識面的重要性，數學與物理、及其它學科交
叉的必要性，以及與朋友學術上交流的好處。
我在中國科學院研究生院讀書時，同學中有張偉平，周向宇，現在都成了國內最傑出的青
年數學家。那時很少有機會能聽到前沿的課程。我們自己組織討論班，報告陳類，指標理
論，Mordell猜想…開始還無法完全弄明白，但是卻開闊了眼界，至少知道了什麼是
「好的」、值得學習的數學。這對每個人來說都是非常重要的，我們需要培養自己對於數
學的鑒賞力。如果你還是無法確信什麼是好的數學，那麼就去讀大數學家的著作和文章，
跟著大師走總是沒錯的。後來在我研究中成為重要工具的局部化思想也是在國內學習與做
碩士論文期間掌握的。後來我用局部化思想來理解我所學到的一切數學知識，就像用一根
線串起了許多珠子。
從我來到哈佛大學開始，讓我感觸最深的就是那裡教授和學生勤奮工作的作風。現在
國內最缺少的正是這樣一種風氣。一流的大學其實就是這樣一流的氛圍。而推動他們如此
投入的是對數學的好奇與熱愛和對知識的渴求。哈佛舉辦各種討論班，參加的學生非常積
極，座位不夠了，甚至會坐在地上。我感覺好像一頭扎進了知識的海洋，每個早晨都感受
到不同的陽光，那是非常令人興奮的日子。
Witten的文章「超對稱與Morse理論」，對我的工作影響是最大的，還有哈佛大學教
授Bott「厚積薄發，舉重若輕」的研究風格也令我頗多受益。Bott說過，
「要順流而下，不要逆流而上」。就是說做數學永遠要順流而下，不要太費勁，太勉強，
要追求「輕舟已過萬重山」般的流暢，但也不要隨波逐流，兩方面要協調好，否則就談不
上創新。
數學上的每一次變革都離不開新的思想與方法，以及不同分支學科的融會貫通。這就要求
我們在掌握豐富知識的基礎上更具創造性的思考問題，才能在數學發展的前沿佔有一席之
地。數學與物理的交互作用無疑將是今後相當長時間裡數學研究的主流分支。舉幾個學科
間交叉的例子，微積分與線性代數結合創造了微分幾何；Faltings用綜合代數數論與代數
幾何的Arakelov理論證明Mordell猜測；從對稱函數或更一般的，從緊群表示論出發，可
以得到陳類，K-理論，Riemann-Roch公式和指標理論；集模形式，表示論和拓撲於一體的
橢圓虧格；物理學家揭示的弦論中的各種對偶性在數學上的許多應用等等。
數學家對整個社會和人們的日常生活都有很大的貢獻。從計算機，互聯網，到生命科學，
金融業，處處可見數學的蹤影。儘管現在美國找工作不容易，華爾街還招大量的數學系畢
業生，培訓三個月就能勝任。諾貝爾經濟學獎獲得者中也有好幾位是數學家，包括「美麗
心靈」的主人公Nash，Debreu等。在生物學裡也數學出身的有諾貝爾獎獲得者Gilbert。
可以說，數學是最無私、最有潛力的專業。進可努力成為大科學家，退可過有質量的生活
。數學要轉到別的專業很容易，但反過來，別的專業要轉到數學可就不容易了，數學可以
給你很好的邏輯思維訓練，即使以後不做數學了，也可以在別的領域做得很好。但這卻是
單程車票。我在北大數學系的150個同學，雖然現在做純數學的就我一個，但他們現在生活
得也都很好。
愛因斯坦說過，「想像力比知識更重要」。可是沒有深厚的知識底蘊，想像力也只能
是空中樓閣。想像力就是將各種知識融會貫通而激發出的火花。所謂「天才」，就是腦袋
裡時刻放著七八個問題，在閱讀文獻的同時，不斷用新學到的技巧和方法來分析這些問題
，看能否找到突破，只要用心堅持，總能解決掉其中兩三個問題，那麼別人就會覺得你是
天才了。
我的博士論文主要研究橢圓虧格，它是指標理論和模形式的結合體，可以看作環路空
間上的指標理論。在Witten受到量子場論啟發提出橢圓虧格的剛性猜想以後，Bott和
Taubes花了很大精力研究這個問題，可是他們給出的證明技巧性太強，很複雜。我參加了
哈佛和MIT關於橢圓虧格的討論班。我注意到環路空間上橢圓算子在模群SL(2,Z)作用下的
對稱性，接下來用了幾個月時間給出了剛性猜想的一個極其簡潔的證明，其中用到數論中
的Jacobi-theta的函數和模型式。
SL(2,Z)對稱性也是弦論中的基本原理。這個證明的思想最初萌發於去普林斯頓參加
乒乓球比賽的路上，最後一步證明的豁然開朗則是產生在看一部電影的時候。記得開始的
幾次證明總是有漏洞，我苦惱至極。但我堅定地相信這麼美妙的思想一定是對的，不然數
學就一點都不有趣了，也許我也早就放棄做數學了。這就是我多方面學習培養的數學感覺
在起關鍵作用了。後來我繼續推廣了剛性定理，使之與無窮維李代數結合到一起。我不僅
通過這新的方法發現了新的消滅和剛性定理，還憑借數論和代數幾何的知識，通過模曲面
的幾何來理解剛性現象。這些方法現在仍然非常有用，完全超出了我的預期。這全新的方
法也引發了我與麻曉南，張偉平及董崇英等朋友的合作，將頂點算子等理論與橢圓算子的
剛性結合到一起。
我研究生涯的第一步正是得益於廣泛的知識積累。數論的知識卻用到了拓撲之中。在
研究的過程中，我也更加深了對所學知識的理解。哈佛幾年的學習，我覺得最重要的收穫
是對「好的數學「的感覺和把握能力。
80年代末，物理學家Verlinde在研究2維共形場論時提出了著名的計算黎曼面上穩定
叢模空間的典則線叢的全純截面維數的猜測，即Verlinde公式，這是一個90年代初非常熱
門的研究專題。黎曼面上穩定叢的模空間在數學的許多分支中都有研究，特別是代數幾何
與拓撲學。數學家嘗試了很多辦法計算其上典則線叢的全純截面維數，但都失敗了。可是
弦論學家卻出人意料的給出了一個非常簡潔的閉公式。不久Witten在研究二維規範理論時
提出了一個關於黎曼面上主叢的模空間上相交數閉公式的猜測，原則上Witten公式結合
Riemann-Roch公式或者指標公式就可以得到Verlinde公式。當時我在MIT任教，參加了
許多關於這方面問題的討論班，嘗試了許多不同的方法來理解Witten公式，這是一個對緊
李群所有不可約表示求和的無窮和式。那段時間我對辛幾何也有了較深刻的理解。
直到有一天在MIT的圖書館裡，我和往常一樣翻閱感興趣的文獻，不經意間看到了
李群上熱核的表達式，是由一個與Witten公式相同類型的無窮和式給出的。我立刻確信自
己找到了證明Witten公式的工具，就是李群的熱核。有了思想只是第一步，還有許多技巧
上的困難需要克服，我用了幾個月時間才寫下了全部的證明細節，而所學的辛幾何知識也
起到了極其關鍵的作用。
受到我的工作激勵，Bismut得以用我的方法給出了一般Verlinde公式的證明。
「研究」的英文單詞「research」，就是反覆尋找，很好的體現了研究的本質。
丘成桐與楊振寧先生都有常在圖書館翻閱雜誌的好習慣，不求懂，只為見多識廣。丘先生
更以「好讀書，而不求甚解「作為廣泛獵取知識的好方法。與其他學科一樣，數學的每一
點進步都是建立在前人工作基礎之上的。可謂「開卷有益」！
1996年我接到斯坦福大學聘書，就在我將要驅車離開波士頓前的一小時，丘成桐先生
打電話來要和我談論有關鏡像對稱的問題。1990年英國物理學家Candelas等人在鏡像對稱
的基礎上，提出了五次Calabi-丘空間上有理曲線計數公式的猜測。近百年來代數幾何學家
都在試圖計算這些有理曲線的數目，卻只能得到不超過3次的有理曲線數目。而Candelas的
公式通過計算一個很簡單的常微分方程，即Picard-Fuchs方程，便給出了任意次數有理曲
線的數目，引起很大的轟動，鏡像對稱也由此而發展成為近年來數學中的主流。許多數學
家嘗試證明這個公式，包括Witten,Kontsevich，Givental等著名數學家
都作出了貢獻。我先前並未特別關注鏡像對稱這個研究領域，於是開始加倍努力的閱讀文
獻。有時候冥思苦想多日卻不得其解，甚至會在經歷繁複的計算後換取一個「此路不通」
的經驗。後來在不經意間，當我注意到穩定映射模空間上的遞歸結構的重要性時，問題好
像一下子豁然開朗了，這種美妙的感覺是旁人很難體會的。很快，丘成桐，連文豪和我就
給出了Candelas鏡像猜想的第一個完整證明。證明的關鍵是「函子局部化」技巧，這在我
今後的研究工作中也是一個非常重要的工具。此後我們又一起將鏡像定理推到極其廣泛的
情形。這是一次非常愉快的合作，我們彼此的特長相互結合在一起，使困難的問題很快地
得到解決。
我在UCLA的這些年中在研究上有很多收穫，我們還證明了Grassmann流形的
Hori-Vafa鏡像猜測。其中除了函子局部化公式外，還要用到很複雜的組合技巧與代數幾何
，這些困難是在與劉劍豪討論後才得以克服的。劍豪的刻苦和不懼一切困難的勇氣都給了
我深刻的印象。所以與好朋友，特別是彼此瞭解對方工作與能力的朋友交往是很重要的。
90年代初，Kontsevich證明了Witten的一個著名猜測並由此獲得Fields獎，即
代數曲線模空間上某些陳類積分（稱為Hodge積分）的生成級數滿足無窮多個KdV型的微分
方程。我很早就開始關注Kontsevich的這項工作以及相關的發展，而且鏡像對稱在高虧格
的推廣也需要計算更廣泛的Hodge積分。2001年Marino和Vafa從Chern-Simons理論和
Calabi-Yau空間的對偶關係出發，猜測曲線模空間上一類更廣泛Hodge積分的生成級數
可以表達為關於對稱群表示的組合閉公式，也就是Chern-Simons紐結不變量。
我在瀏覽眾多物理文獻時看到這個猜測，立刻就被它的漂亮吸引住了，並且意識到需要先
在組合方法上找到突破口。2002年暑假，正值國際數學家大會在國內召開，我與周堅在北
京到杭州，上海到北京的飛機上討論了許多例如鏡像對稱方面的問題，當然也提到了
Marino-Vafa猜想。此後又繼續通過email進行了許多富有成果的討論。不久，周堅就理清
了Marino-Vafa公式中的組合部分，即對稱群表示的組合公式。他注意到這個組合公式滿足
一個所謂的「切割－連接」方程。因為這個「切割－連接」方程等價於一組常微分方程，
由解的唯一性定理，剩下的問題只要證明Marino-Vafa公式中的幾何部分，即Hodge積分的
生成級數也滿足這個「切割－連接」方程，同時與組合部分具有相同的初值。這卻要困難
得多，因為幾何表達式的結構極其複雜，不像組合表達式那樣直截了當，可以直接驗算。
Marino-Vafa公式幾何部分的證明進行得相當的曲折和困難，我們用函子局部化技巧作
了許多嘗試。2003年4月，劉秋菊來到加州大學洛杉磯分校，參加了我主持的討論班，
我把與周堅的研究進展告訴劉秋菊，在我們三人的合作努力下，很快就完成了幾何部分的
證明。記得我們三個人當時曾被極其複雜的表達式困惑住，百思不得其解，曾經想到放棄
而只寫下部分結果。最後劉秋菊從Lake Arrowhead趕回來與我討論，做無奈的最後一試，
用了類似我們證明鏡公式的辦法，居然成功！那一剎那的感覺是非常令人難忘的。當這個
猜想被證明時，真有一種天地人合一的感覺，那是一種靈魂激盪的美妙感覺。證明的預印
本於2003年6月發表，在國際上引起了很大的反響。這是一次極其愉快地合作經驗，三個朋
友的長處得到了最完美的結合與發揮，也是可遇不可求的美好經歷。
Marino-Vafa公式與Witten-Kontsevich的公式相比，不但前者的Hodge積分更加廣泛，
而且Marino-Vafa公式是一個非遞歸的閉公式。更重要的是，我們的證明是幾何方法與
組合技巧的美妙融合，對今後類似公式的證明都具有方法論上的很好借鑒。我們繼續用我
們的方法建立了數學拓撲頂點理論。許多更有意思的結論可由此推出，包括我們建立的與
指標理論的聯繫及我的學生彭攀用這新的理論證明了圈形Calabi-丘流形上著名的
Gopakumar-Vafa猜想。就像Atiyah講的，中國數學家在數學物理這個最有影響的主流領域
可說是一直引領風騷。周堅與劉秋菊也成為此領域中公認的一代青年領袖。
近朱者赤，和一群聰明的人在一起，你會變得更聰明。
黎曼面的模空間和Teichmuller空間的幾何是一個古老的問題。丘成桐在80年代初期與
鄭紹遠，莫毅明合作證明Teichmuller空間上Kahler-Einstein度量的存在性。之後他猜測
黎曼面的Teichmuller空間上的Kahler-Einstein度量與經典的Teichmuller度量，
Bergman度量等價。最近，通過引進並詳細研究兩類全新的完備度量，Ricci度量與攝動
Ricci度量，丘成桐，孫曉峰和我證明了丘成桐的猜測。而且還證明了所有經典的完全度量
都與我們新引進的度量是等價的，這澄清了這個領域裡許多的老問題。更重要的是我們進
一步得到了模空間的logarithmic余切叢是穩定的代數幾何結果。這個結果至今
代數幾何學家仍不知如何下手。
在我還是學生時，我就對模空間和Teichmuller空間的幾何問題有濃厚的興趣。我參加
各種討論班，還寫了兩篇論文，用模空間上的Weil-Petersson度量的曲率性質證明了代數
幾何中的幾個重要結果。我認為這是學習一門新課程最行之有效的方法，比做習題有益的
多，理解問題和概念也深刻的多。
孫曉峰是我在斯坦福任教時結識的，當時他是Schoen的博士生，跟我上一些讀書課。
他人很聰明而且堅持不懈，這是難得的數學家素質。我們與丘先生一起在黎曼面模空間問
題上進行了許多卓有成效的討論，使得這項工作得以順利完成。我們的工作對於黎曼面模
空間幾何學是很重要的貢獻。我們還在繼續研究許多很有意思的問題，許多結果很快會寫
出來。
通過上面的討論，希望大家已經能夠感受到知識的重要，而要獲取知識，惟有勤奮，而且
與朋友多交流，共同創造一個好的探討和吸收知識的氛圍。寬廣的知識面使我們能夠正確
地選擇和提出有意義的問題，把握正確的研究方向，培養出對「好的數學「的敏感和洞察
力。這種能力遠比掌握幾個解題技巧來的重要，是真正的科研能力。學生們也不應過分限
制自己的領域，要解決的問題需要什麼知識就要去努力獲取。另一方面，讀懂一篇文章，
我們會有成就感，但那只是看別人唱戲，我們需要發展自己的技巧來解決問題。當知識和
技巧插上想像力的翅膀，你會發現數學的一切都變得那麼美妙。
我一直相信大自然都是可以用數學公式來描述的，所以說數學的力量是無窮的。
長期以來，數學已經成了我生活的一部分，是數學的魅力在牽著我走。從某種意義上講數
學就是人生的一種感覺，這說不出的感覺真是好極了。這種感覺只有在寬廣的知識海洋裡
徜徉才能欣賞得到。
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