→ Wolfram:good 07/12 22:27
※ 引述《pedro1025 (孬孬小台客)》之銘言：
: 二項式定理
: r ∞ r k
: (1+x)= Σ * C * x
: k=0 k
: 若r為負的時候 要怎算啊
: -2
: 譬如 C =？ 負階層沒學過...請會的版友指點一下 感激 ^^
: k
Gamma function
∞
Γ(x)=∫ t^(x-1)*e^(-t)dt 其中x為任意複數
0
經過 推導之後 可得到Γ(x+1)=x*Γ(x) 這是Gamma的重要性質
這和階層有什麼關係呢?
我們知道階層的遞迴關係式
n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 其中n為正整數 並且定義0!=1
階層明顯具有這個性質 n!=n*(n-1)! 當n為正整數
所以可以把n! 視為一個Gamma function Γ(x+1) 在x為正整數的特例
也就是說Γ(n+1)=n! 把階層的定義範圍 利用Gamma function從整數擴大到複數領域
所以遇到非整數的階層表示 通常就是代表要利用Gamma function
其中可以用高斯分配的的積分導出 Γ(1/2)=√π
利用這個值 就能再繼續導出Γ(-1/2),Γ(3/2),Γ(5/2),...
簡而言之 遇到非整數的階層 就換成Gamma function
然後用積分積出來 不過(-1)!, (-2)! ,... 各種負整數階層應該是積不出來的
定義完非整數的階層
再回到非整數的 組合計算
一般定義 C(n,k) = n!/[(n-k)!k!] = [n*(n-1)*(n-2)*..*(n-k+1)] / k!
k
改用連乘符號的話 C(n,k) = Π (n+k-i)/i 其中k必須要為正整數
i=1
透過這個定義 也可以把組合計算公式擴大到複數領域 只要k為正整數就可以
--
寫的不是很通順
有錯請多指教
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.90.205