推 harry901:正解! 10/26 09:19
※ 引述《void ( bubble)》之銘言：
: ※ 引述《DevinKao (夜晚夾縫)》之銘言：
: : ln f(x) = x
: : f'(x)/f(x) = 1
: : f'(x) = f(x) = e^x
: : 這樣不知道可不可以= ="
: : --
: : ◆ From: 222.157.161.179
: : 推 void:....................... 10/26 02:11
: : → theoculus:大一微積分老師也是這樣導給我們看的 = = 10/26 02:39
: 真的喔 囧>
: 那我想請問一下 第一行怎麼到第二行的
: 是利用ln的微分再配合chain rule嗎?
: 那你們老師是怎麼推導ln x的微分的@@?
x
定義 ln x = ∫ (1/t) dt , x > 0
1
(ln x)' = 1/x
(我記得當時用的書是先定義 ln x, 後一節才討論到 e^x)
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他的推導過程 我憑印象寫在下面 (所以可能有寫錯的地方)
x
討論函數 F(x) = ∫ (1/t) dt , x > 0
1
F(x)有下面幾個性質
(1) F(1) = 0
(2) F(x) > 0 , if x > 1
(3) F(x) < 0 , if 0 < x < 1
(4) F(x) is continuous at any point x > 0
(5) F(ab) = F(a) + F(b)
(6) F(a/b) = F(a) - F(b)
然後要我們去畫 F(x) 的圖形 (我懶的畫,畫出來類似底數大於一的對數函數)
x
(7) 證明 ∫ (1/t) dt → -∞ ,when x → 0+
1
說明 F(x) 跟 對數函數 有完全一樣的性質
e 為 令 F(x) = 1 之 x
x
定義 ln x = F(x) = ∫ (1/t) dt , x > 0
1
=> ( ln x )' = F'(x) = 1/x (F.T.C)
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Chain rule & ln x的微分
ln e^x = x
(ln e^x)' = (x)'
e^(-x)*(e^x)' = 1
(e^x)' = e^x
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他也用類似的方式來推導 (arcsin x)' , (arctan x)' .... etc
sin (arcsin x) = x
[sin (arcsin x)]' = (x)'
cos (arcsin x) * (arcsin x)' = 1
(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)
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◆ From: 125.229.208.51
※ 編輯: theoculus 來自: 125.229.208.51 (10/26 07:48)