Re: [微積] n維球體積

[biglion (我愛美人魚)]

如同推文說的 n維球的體積在 "Statistical Mechanics" by Pathria 上有

我想版上有這本書的人應該不多

我還是把書上推導過程post出來給大家欣賞一下


令 Vn(r) 為n維球的體積    Sn(r) 為n維球的表面積

假設  Vn(r)=Cn*r^n   則 dV=n*Cn*r^(n-1)=Sn(r)dr

               ∞
利用這個積分  ∫ exp(-x^2)dx=π^(1/2)
              -∞

               ∞    ∞
=> π^(n/2) = ∫……∫exp[-(x1^2+x2^2…+xn^2)]dx1*dx2*…dxn
              -∞   -∞

               ∞                  ∞
            = ∫exp(-r^2)Sn(r)dr = ∫exp(-r^2)n*Cn*r^(n-1)dr
               0                   0

            = n*Cn*Γ(n/2)/2 = (n/2)!Cn

=> C = π^(1/2)/(n/2)!

=> Vn(r) = π^(1/2)r^n/(n/2)!

   Sn(r) = 2π^(1/2)r^(n-1)/Γ(n/2)

想到這個方法的人真是天才!!

另外書中有例題(2.8、2.9)也利用類似的方法求得以下的積分


   ∫…………∫ Π(4πri^2 dri)
    0≦Σri≦R   i
        i


及 ∫………………∫dx1*dx2…dx3N
        3N
     0≦Σ|xi|≦R
         i

有興趣的可以想想看怎麼積！

更令我感到驚訝的是  物理竟然用得到這些抽象的積分 @@"

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◆ From: 140.112.218.138
推 Linderman:推一下^^...老實說我實在是覺得這個證明很不自然...
→ Linderman:我覺得這個作法只是係數跟好跟n維球體積的係數相同...
→ Linderman:我用我自己的方法卻又卡在太麻煩和一個邏輯上的瑕疵
→ Linderman:事實上Zwiebach弦論的quick calculation也是類似這方法
→ Linderman:呵呵..其實這也是某一年的芝加哥大學博士班的資格考題目