推 MEstimator:說的很棒 09/23 04:11
推 algebra1029:呼 很難再更清楚了… 12/28 00:58
※ 引述《sky91302018 (sky)》之銘言：
: 希望有人可以替我解惑，感激不盡
: 極限定義
: lim f(x) = L 等價於
: x→c
: 對每一 ε＞0,存在一δ＞0,使得
: 若0＜∣x-c∣＜δ,則∣f(x)-L∣＜ε
: 我的問題在於為什麼先對於ε定義有一個δ與之對應,而在0＜∣x-c∣＜δ這個部份卻先談到δ
: 就能推到∣f(x)-L∣＜ε
並不是先對於每個ε去定義一個δ
而是對於給定的ε，去找一個δ來滿足「使得」後面的條件
當然可能找得到，也可能找不到這樣的δ
而這個定義就是說，如果可以證明對任意的ε一定找得到這樣的δ的話
我們才能說 lim f(x) = L
x->
: 不知道大家懂ㄉ我問ㄉ問題嗎?
這個定義用白話來說就是
lim f(x) = L
x->c
的意思是
「只要x夠接近c , f(x)就會無限地接近L」
而所謂無限地接近的意思呢，就是要多近就有多近
舉例來說， f(x) = x^2
lim f(x) = 0
x->0
這是什麼意思呢？
就是說假如你希望f(x)接近0到某個程度，例如|f(x)-0| < 0.01
只要取x到足夠接近0就可以辦到
什麼叫作x足夠接近0呢？
在這個例子裡，只要 0< |x-0| < 0.1 , 則 |f(x)-0|就會小於0.01
如果你希望 |f(x)-0|<0.0001
那麼就必須要求x更接近0 , 例如 0< |x-0| < 0.01 時即可達到這個要求
也就是說，不管你要求 |f(x)-L| 有多小
只要x離c夠近就可以辦到
所以用符號表示就是說
對於任意的正數 ε
我都可以在c附近找到一個小區間 (c-δ,c+δ)
在這個區間內 ，除了c以外的所有x都滿足 |f(x)-L|<ε
如果以上這樣的區間一定找得到的話
我們就說 lim f(x) = L
x-> c
因此要證明lim f(x) = L
x->c
我們所要做的，就是去說明對於任意的ε，如何去找到δ
如果你能給出一個方法使得對每個ε都能找到對應的δ的話
那就證完了
反之，如果我可以舉出一個ε ，使得不管δ取得再小，
在(c-δ,c+δ)內都還會有某些x(除了c以外)使得 |f(x)-L| >= ε
這時「只要x夠接近c，f(x)就會無限接近L」顯然就錯了
這時我們就說lim f(x) ≠ L
x->c
所以重要的是能夠體會 「只要x夠接近c，f(x)就會無限接近L」
這句話的意涵，就會覺得極限的定義真是再自然不過了
長篇大論讓大家見笑了
希望對原po有幫助
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