推 calvin4:非常清晰的解說！ 09/21 23:15
※ 編輯: yhliu 來自: 163.15.188.87 (03/16 01:31)
※ 編輯: yhliu 來自: 163.15.188.87 (03/16 01:36)
推 tsoahans :超清楚 推 10/27 03:10
[舊文轉貼]
與 mantour 說的差不多啦!
這裡要談的觀念是:
當 x 逼近 a 時, f(x) 有極限 L。
所謂 "f(x) 有極限 L" 是在講甚麼?
基本上我們的意思是: f(x) 很靠近 L。
多靠近? 你說要多靠近都做得到, 但不能要求 "f(x)=L"。
我希望 |f(x)-L|<.0001, 做得到嗎?
只要 x 夠接近 a, 但 x<>a, 一定要做得到!
那麼, 要求 |f(x)-L|<.000000000001 呢?
沒問題! 只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a。
那麼...是不是我隨便說一個數 e>0,
只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a, 就能保証 |f(x)-L|<e?
沒錯! 極限就是這個意思!
可是...甚麼叫 "x 夠接近 a" (而且還要 x<>a)?
問得好! "f(x) 靠近 L" 不稀奇; 但它是有條件的,
那就是 "x 夠接近 a, 而且 x<>a"。所以, 我們必須
有個標準來評估是否 "x 夠接近 a"?
我們可能取一個標準 d>0, 凡是 0<|x-a|<d, 也就是
x 和 a 的距離小於 d, 就說 x 夠靠近 a。
那... d 要取多少? 0.1? 0.01?
注意 d 不能任意取的, 因為極限的意思是說
只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a, 就保証 |f(x)-L|<e
如果 d 取得太大, 就不能保証 |f(x)-L|<e 了! 所以,
一般 d 的選取是要看 e 來決定的; 當然, 除了 e 的
大小會影響到 d 以外, x 及函數 f 的形式也會有影響。
好像滿難的? 能不能舉個例子?
舉個例子:
: lim x^2=4
: x->2
這個極限式的意思是:
你可任意地要求 x^2 夠接近 4,
只要你將 x 取得夠靠近 2, 但 x<>2.
換言之:
你可任意訂定一個標準 e,
你希望 |x^2-4|<e.
而這件事確實做得到---
只要你將 x 取得夠靠近 2, 並且 x<>2.
何謂 "x 夠靠近 2"?
它的意思就是:
你找到一個標準 d.
若 |x-2|<d, 則可說 "x 夠靠近 2"。
因此, 合起來是說:
任意給一個 e>0, 一定可找到一個 d>0.
若 0<|x-2|<d (x夠靠近 2, 但不等於 2).
則可保証 |x^2-4|<e。
要証明上面這段敘述, 則必須找一個 d>0,
使得 0<|x-2|<d 時一定能滿足 |x^2-4|<e。
[証明]
因為 |x^2-4|=|x+2|*|x-2|, 所以
|x^2-4|<e 即 |x-2|<e/|x+2|。
這裡遭遇一個困難...|x+2| 是多少?
由於我們關心 x-->2 的情形, 因此 |x-2|
可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 則 0<x<4。
這時候, e/6 < e/|x+2| < e/2.
所以:
若 |x-2|<2 且 |x-2|<e/6, 則 |x-2| < e/|x+2|,
因此 |x^2-4|<e。
於是我們得到下述結果:
對任意 e>0, 取 d=min{2,e/6},
當 0<|x-2|<d 時,
必可得 |x^2-4|<e。
※ 引述《thezi (未知)》之銘言：
: : 可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 則 0<x<4。
: ^^^^^^^^^^^^^
: 我看不懂這一行@@
: "例如"是什麼意思
: 可以選別的嗎
: |x-2|<1 則 1<x<3
可以.
只是為了給 |x+2| 一個界限.
限制 |x-2|<1, 則 1<x<3, 因此
|x^2-4| = |x+2|．|x-2| < 5|x-2|
若加上 0<|x-2|<e/5 的條件, 則
|x^2-4| < 5(e/5) = e
也就是說:
對任意 e>0, 取 d=min{1,e/5},
當 0<|x-2|<d 時必有 |x^2-4|<e.
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