Re: [代數] 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4

[Sfly (Category)]

※ 引述《AE5096 (XD)》之銘言：
: 想請問這個可以化簡成什麼東西呢
: 我知道1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2 = ( n(n+1)/2 )^2
: 平方和的也知道
: 但是四次方和就不知道了

既然知道立方和的公式 要求四次的公式就不難了
Σk^3= ((n^2+n)/2)^2 =:f(n)
我們知道 f(x)-f(x-1) = x^3 for all real number x.
this implies, F(n)-F(n-1) = n^4/4 + c
             n                0
where F(n):=∫f(t)dt  and c=-∫f(t)dt
             0               -1
so  4F(n)-4F(n-1)=n^4 + c'   ==> Σk^4 = 4F(n) +cn = n^5/5+n^4/2+n^3/3+c'n
Set n=1, 1=1/5+1/2+1/3+c => c'= -1/30.
Similarly, Σk^5= n^6/6 + n^5/2 + (5/12)n^4 - n^2/12.
Σk^6= n^7/7 + n^6/2 + n^5/2 - n^3/6 + n/42.
etc...


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 131.215.6.157
推 ttinff:Bernoulli number!!
→ ttinff:or search "Faulhaber's formula"